17.2.5 Persamaan RANS Inkompresibel

Persamaan Navier-Stokes Reynolds-averaged tidak dapat dikompres karena didasarkan pada variabel yang diratakan waktu. Mendekomposisi medan kecepatan, tekanan, dan suhu menjadi:

dan menggantikan v, p, dan T dengan ungkapan terdekompresi mereka dalam persamaan kontinuitas tak terkompresibel, momentum, dan energi yang diberikan oleh Persamaan (3.13), (3.39), dan (3.78), masing-masing, dengan asumsi fluida Newtonian, dan mengambil rata-rata waktu, persamaan ini diubah menjadi:

Bentuk yang diratakan Reynolds dari Persamaan (17.10) – (17.12) diperoleh sebagai:

Persamaan-persegi yang diratakan Reynolds di atas mirip dengan persamaan konservasi aslinya kecuali adanya produk rata-rata tambahan dari komponen fluktuasi karena suku non-linear. Ini memperkenalkan enam variabel baru (komponen tensor , yang dikenal sebagai tensor tegangan Reynolds ) ke dalam persamaan momentum dan tiga aliran panas turbulen baru yang tidak diketahui  ke persamaan energi. Bentuk yang diperluas dari tensor tegangan Reynolds  dan vektor aliran panas turbulen diberikan oleh:

Akibatnya, set persamaan RANS bukanlah sebuah set tertutup dan untuk dapat memecahkannya, persamaan tambahan untuk komponen tegangan Reynolds yang tidak diketahui diperlukan. Proses perhitungan tegangan Reynolds ini disebut dalam literatur sebagai pemodelan turbulensi. Mencoba untuk mengembangkan persamaan-persamaan tersebut dengan menggunakan persamaan konservasi asli menghasilkan variabel-variabel tambahan (seperti produk tiga kali lipat dari komponen fluktuasi) yang mempersulit masalah lebih lanjut. Tensor tegangan Reynolds berasal dari suku konveksi non-linear dari kedua momentum dan suhu yang mengkonfirmasi bahwa turbulensi itu sendiri adalah efek dari fenomena non-linear yang sangat sensitif terhadap setiap gangguan. Oleh karena itu, setiap pengaverageran linear dari persamaan, seperti teknik pengaverageran Reynolds, tidak dapat mengurangi orde masalah. Kompleksitasnya sebenarnya rekursif dalam arti mencoba untuk mengembangkan persamaan tambahan untuk produk tiga kali lipat, produk empat kali lipat muncul dan seterusnya. Untuk mengatasi masalah ini, setiap model turbulensi harus menutup sistem persamaan dengan mengekspresikan komponen tegangan fluktuasi non-linear hanya dalam hal komponen rata-rata seperti yang dijelaskan selanjutnya.