Skema waktu orde kedua

Deret Taylor perluasan antara waktu sekarang dan waktu ‘lama’ di berkaitan dengan skema implisit Euler oleh

$o 2 --------= @---- @---- --t+ O( t2)::: t @t @t2 2 \relax \special {t4ht=$

(3.25)

Kesalahan pemotongan $persamaan$ , yaitu akurasi orde pertama pada waktu ketika turunan waktu berhubungan dengan $persamaan$ waktu saat ini , seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini. Meskipun orde rendah, skema Euler cukup akurat untuk banyak simulasi karena $persamaan$ umumnya kecil jika sesuai dengan $persamaan$ .

Namun demikian, skema waktu urutan kedua mungkin diperlukan untuk simulasi yang memerlukan akurasi temporal yang lebih tinggi atau untuk memungkinkan efisiensi komputasi yang lebih besar dengan menjalankannya dalam skala yang lebih besar $persamaan$ .

Skema Backward

Dalam Persamaan. (3.25) kita dapat menggantinya $persamaan$ dengan nilai $persamaan$ pada waktu ‘lama-lama’ $persamaan$ . Mengurangi ekspresi dari Persamaan. (3.25) dan penataan ulang suku-sukunya memberikan hubungan berikut untuk turunan kedua

@2 2 o + oo --2- = --------2------+ O( t2)::: @t t \relax \special {t4ht=

(3.26)

Mengganti Persamaan. (3.26) ke Persamaan. (3.25) memberikan skema mundur yang akurat orde kedua, menggunakan nilai pada tiga tingkat waktu $persamaan$ , $persamaan$ dan $persamaan$ :

@---- 3 ----4---o +---oo @t ! 2 t \relax \special {t4ht=

(3.27)

Skema Crank-Nicolson

Sebuah implisitsolusi mengungkapkan istilah-istilah dalam suatu persamaan, misalnya adveksi, Laplacian, pada waktu saat ini . Metode Crank -Nicolson ,¹³ menyatakan istilah-istilah di titik tengah antara waktu sekarang dan waktu lama, untuk membuat skema waktu Euler orde kedua akurat. Dengan menyatakan suku-suku terdiskritisasi kecuali turunan waktu dengan $persamaan$ , metode Crank-Nicolson menyelesaikannya

@ 1 1 ---- + --[A jb ] + --[A jb ]o o = 0; @t Euler 2 2 \relax \special {t4ht=

(3.28)

dimana $persamaan$ dihitung menggunakan nilai waktu lama $persamaan$ .

Versi modern dari skema ini menggantikan kedua $persamaan$ faktor tersebut dengan $persamaan$ dan $persamaan$ , memperkenalkan ‘koefisien offset’ $persamaan$ , yang $persamaan$ sesuai dengan implisit Euler dan $persamaan$ merupakan Persamaan Crank-Nicolson. (3.28). Jika $persamaan$ didiskritisasi secara implisit (seperti biasa), skema Crank-Nicolson dapat direpresentasikan sebagai turunan waktu yang didiskritisasi oleh

@---- -------o o o @t ! (1 + ) t + [A jb] : \relax \special {t4ht=

(3.29)

Dalam praktiknya, $persamaan$ umumnya digunakan untuk memastikan stabilitas solusi.