Substantial Versus Local Derivative
Turunan (perubahan laju) dari variabel medan ϕ(t,x(t)), yang mungkin merupakan kuantitas skalar atau vektor yang mewakili kerapatan, kecepatan, suhu, dll., terhadap posisi tetap dalam ruang disebut turunan Eulerian ∂ϕ/∂t sementara turunan yang mengikuti suatu paket fluida yang bergerak disebut turunan Lagrange, substansial, atau material dan dilambangkan dengan Dϕ/Dt. Turunan substansial dari variabel ϕ, yang dapat diperoleh melalui penerapan aturan rantai untuk memperhitungkan perubahan yang diinduksi oleh semua variabel independen sepanjang jalur, diberikan oleh
di mana v adalah vektor kecepatan dan ∇ adalah operator “del” atau “gradien” yang didefinisikan sebelumnya. Persamaan (3.2) menunjukkan bahwa laju perubahan total dari fungsi ϕ saat suatu paket fluida bergerak melalui medan aliran yang dijelaskan oleh spesifikasi Eulerian v dari posisi x pada waktu t ke posisi x + vδt pada waktu t + δt (Gambar 3.2) sama dengan jumlah laju perubahan lokal dan konvektif dari ϕ.
Gambar 3.2 menunjukkan laju perubahan total variabel medan ϕ antara waktu t dan t + δt.
Salah satu contoh penting dari turunan material adalah , laju perubahan kecepatan mengikuti aliran, yang merupakan vektor percepatan diberikan oleh
Hukum konservasi dijelaskan mengikuti formulasi Eulerian di mana fokusnya adalah pada aliran dalam suatu wilayah tertentu dalam ruang, yang disebut volume kontrol. Pilihan ini didasarkan pada kenyataan bahwa pendekatan Eulerian mengikuti medan (sistem) daripada pendekatan partikel, meninggalkan tugas yang melelahkan dan seringkali tidak perlu untuk melacak partikel individu, dan memfokuskan perhatian pada apa yang terjadi di suatu titik (atau volume) tetap ketika partikel-partikel berbeda berlalu. Selain itu, kelemahan kritis dari pendekatan Lagrange adalah ketidakmampuannya untuk mengontrol domain yang diminati karena paket-paket fluida bergerak ke mana aliran membawa mereka, yang mungkin bukan wilayah yang diminati. Hal ini membatasi kegunaan pendekatan tersebut karena dalam kebanyakan aplikasi aliran fluida, properti fluida dalam suatu wilayah tetap diperlukan, misalnya, gaya gesek pada permukaan kereta yang bergerak, dan bukan properti volume material yang bergerak.
Meskipun demikian, harus disebutkan bahwa pendekatan Eulerian memperkenalkan dalam persamaan konservasi efek lokal dari transportasi oleh aliran fluida melalui suku laju perubahan advektif, , yang mewakili hasil kali antara medan kecepatan yang tidak diketahui dan gradien medan variabel yang tidak diketahui. Nonlinearitas ini mengarah pada fenomena yang paling menarik dan paling menantang dari aliran fluida.