The Upwind Scheme

Ketika meneliti prosedur diskritisasi yang dijelaskan di atas, terlihat bahwa alasan untuk mendapatkan koefisien positif ini adalah karena profil linear simetris yang diadopsi. Profil linier simetris memberikan bobot yang sama pada kedua simpul yang berbagi muka tanpa preferensi arah, yang sesuai untuk fenomena non-direksional dengan jenis termos elips, seperti pada termos difusi. Ini hanya tidak memadai untuk termos adveksi. Skema yang lebih cocok dengan proses adveksi adalah skema upwind, yang secara skematis ditampilkan di Gambar. 11.6. Skema upwind pada dasarnya meniru fisika dasar adveksi dalam artian nilai sel muka dibuat bergantung pada nilai simpul upwind, yaitu tergantung pada arah aliran. Dalam hal ini, nilai sel muka untuk konfigurasi yang ditampilkan di Gambar. 11.6 diberikan oleh:

Gambar 11.6 Profil skema upwind

di mana $m_{e}$ dan $m_{w}$ adalah laju aliran massa di muka e dan w yang diberikan oleh

Oleh karena itu, fluks adveksi di muka e dapat ditulis sebagai

dimana

Dalam Persamaan (11.35) dan (11.36), istilah || $a, b||$ mewakili nilai maksimum dari $a$ dan $b$ . Selain itu, hubungan serupa dapat diperoleh untuk fluks adveksi di muka w dan diberikan oleh

dimana sekarang

Dengan menggunakan notasi kontribusi fluks difusi dengan superskrip Diff, maka substitusi ke dalam Persamaan (11.15) menghasilkan

yang dapat dimodifikasi menjadi bentuk

dengan

Hal ini dengan mudah terlihat bahwa skema hulu angin menghasilkan koefisien tetangga negatif, dan asalkan kontinuitas dipenuhi, koefisien di node utama diberikan oleh

yang menjamin sifat terbatasnya.

Memanggil kendala kontinuitas dalam Persamaan (11.41) dan mengasumsikan grid seragam serta koefisien difusi konstan, nilai untuk ϕ $_{C}$ dalam hal ϕ $_{E}$ dan ϕ $_{W}$ diperoleh dari Persamaan (11.40) dan Persamaan (11.41) sebagai

Gambar. 11.7 Perbandingan solusi yang diperoleh secara analitis dan numerik menggunakan skema upwind dan central difference untuk masalah konveksi dan difusi satu dimensi.

Profil ϕC yang dihasilkan menggunakan skema upwind (Persamaan. 11.43) dibandingkan dalam Gambar. 11.7 dengan profil serupa yang diperoleh secara analitis (Persamaan. 11.29) dan secara numerik melalui skema central difference (Persamaan. 11.28). Pada nilai PeL rendah, profil menunjukkan bahwa skema upwind tidak seakurat central differencing. Ini diharapkan karena profil upwind akurat hingga orde pertama sementara profil linier akurat hingga orde kedua. Pada nilai PeL tinggi, skema central difference tidak stabil karena solusinya tidak terbatas dan secara fisik tidak benar. Di sisi lain, meskipun skema upwind tidak terlalu akurat, itu secara fisik benar. Dengan demikian, tampaknya ada kompromi antara akurasi dan stabilitas. Dengan menggunakan skema upwind, solusi lebih baik dan terbatas bahkan pada nilai Péclet yang tinggi. Namun hal ini dicapai dengan biaya akurasi yang rendah. Di sisi lain, skema central difference orde kedua menjadi tidak stabil di luar nilai tertentu dari PeL yang menghasilkan solusi yang secara fisik salah. Kedua skema tersebut tampaknya terinfeksi oleh kesalahan, satu memengaruhi akurasi sementara yang lain memengaruhi stabilitas. Apa kesalahan ini? Ini akan dibahas setelah memperkenalkan skema downwind.

Gambar 11.8 Profil skema downwind