Turunan Material
Pertimbangkan sebuah partikel fluida yang bergerak sepanjang jalur lintasannya seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 4.4. Secara umum, kecepatan partikel, yang disimbolkan sebagai VA untuk partikel A, adalah fungsi dari lokasinya dan waktu. Artinya,
Yang mana xA = xA (t), yA = yA (t), dan zA = zA (t) mendefinisikan lokasi partikel yang bergerak. Menurut definisi, percepatan sebuah partikel adalah laju perubahan kecepatannya terhadap waktu. Karena kecepatan dapat merupakan fungsi baik dari posisi maupun waktu, nilainya dapat berubah karena perubahan waktu maupun perubahan posisi partikel tersebut. Oleh karena itu, kita menggunakan aturan rantai dalam diferensiasi untuk mendapatkan percepatan partikel A, yang disimbolkan sebagai aA, seperti
Dengan menggunakan fakta bahwa komponen kecepatan partikel diberikan oleh uA = dt/dxA, vA = dt/dyA, dan wA= dt/dzA , Persamaan 4.2 menjadi:
Karena yang di atas berlaku untuk setiap partikel, kita dapat menghilangkan referensi ke partikel A dan memperoleh medan percepatan dari medan kecepatan seperti ini:
Ini adalah hasil vektor yang komponen skalarannya dapat ditulis sebagai:
Dan
dimana ax, ay, dan az adalah komponen x, y, dan z dari percepatan. Hasil di atas sering ditulis dalam notasi singkat sebagai:
Dimana Operatornya,
Operator tersebut umumnya disebut turunan materi atau turunan substansial. Notasi singkat yang sering digunakan untuk operator turunan materi adalah
Dot product dari vektor kecepatan, V, dan operator gradien, ∇, memberikan notasi yang nyaman untuk suku turunan spasial yang muncul dalam representasi koordinat Kartesian dari turunan materi. Perlu dicatat bahwa notasi V.∇ mewakili operator V.∇ = u ∂/∂x + v ∂/∂y + w ∂/∂z.
Konsep turunan materi sangat berguna dalam analisis yang melibatkan berbagai parameter fluida, bukan hanya percepatan. Turunan materi dari variabel apa pun adalah laju perubahan variabel itu terhadap waktu untuk sebuah partikel tertentu (seperti yang dilihat oleh orang yang bergerak bersama dengan fluida—deskripsi Lagrangian). Sebagai contoh, pertimbangkan medan suhu T = T(x, y, z, t) yang terkait dengan aliran tertentu, seperti yang ditunjukkan dalam gambar di pinggir. Mungkin menarik untuk menentukan laju perubahan waktu suhu dari sebuah partikel fluida (partikel A) saat bergerak melalui suhu tersebut.
Jika kecepatan, V=V(x,y,z,t), diketahui, kita dapat menerapkan aturan rantai untuk menentukan laju perubahan suhu sebagai
Ini dapat ditulis sebagai:
Seperti dalam penentuan percepatan, operator turunan materi, D( )/Dt, muncul.
