Keseimbangan Energi Mekanik Makroskopis

THE MACROSCOPIC MECHANICAL ENERGY BALANCE

Persamaan 7.1-2, 7.2-2, dan 7.3-2 telah disusun dengan menerapkan hukum-hukum konservasi massa, momentum (linear), dan momentum angular pada sistem makroskopis dalam Gambar 7.0-1. Ketiga neraca makroskopis yang diperoleh ini sesuai dengan persamaan perubahan pada Persamaan 3.1-4, 3.2-9, dan 3.4-1, dan pada kenyataannya, sangat mirip dalam struktur. Ketiga neraca makroskopis ini juga dapat diperoleh dengan mengintegrasikan ketiga persamaan perubahan di atas volume sistem aliran.

Selanjutnya, kita ingin menyusun neraca energi mekanik makroskopis, yang sesuai dengan persamaan energi mekanik pada Persamaan 3.3-2. Tidak ada cara langsung untuk melakukan ini seperti yang telah kita lakukan di tiga bagian sebelumnya, karena tidak ada hukum konservasi untuk energi mekanik. Dalam hal ini, kita harus mengintegrasikan persamaan perubahan energi mekanik di atas volume sistem aliran. Hasilnya, yang menggunakan asumsi yang sama (i-iv) seperti yang digunakan di atas, adalah neraca energi mekanik makroskopis tak tunak (kadang disebut persamaan Bernoulli teknik). Persamaan ini diturunkan pada §7.8; di sini kami menyatakan hasilnya dan membahas maknanya:Di sini adalah total energi kinetik dan potensial dalam sistem. Menurut Persamaan 7.4-1, total energi mekanik (kinetik + potensial) berubah karena perbedaan laju penambahan dan pengeluaran energi mekanik, kerja yang dilakukan pada fluida oleh lingkungan, serta efek kompresibilitas dan disipasi viskositas. Perhatikan bahwa di pintu masuk sistem (bidang I), gaya p1S1 dikalikan dengan kecepatan v1 memberikan laju kerja yang dilakukan lingkungan pada fluida. Selain itu, Wm adalah kerja yang dilakukan lingkungan pada fluida melalui permukaan yang bergerak.

Neraca energi mekanik makroskopis sekarang dapat ditulis dengan lebih ringkas sebagai:Di mana istilah E_1 dan E_2 didefinisikan sebagai berikut:

Istilah kompresi E_c bernilai positif selama kompresi dan negatif selama ekspansi; nilainya nol ketika fluida dianggap tidak dapat dimampatkan. Istilah E_v adalah istilah disipasi viskositas (atau kehilangan gesekan), yang selalu positif untuk cairan Newtonian, seperti yang terlihat pada Persamaan 3.3-3. (Untuk cairan polimer yang viskoelastik, E_v tidak selalu positif; cairan ini dibahas di bab berikutnya.) Jika total energi kinetik dan potensial dalam sistem tidak berubah seiring waktu, kita mendapatkanyang merupakan neraca energi mekanik makroskopis dalam keadaan tunak. Di sini, h adalah tinggi di atas bidang referensi yang dipilih secara arbitrer. Selanjutnya, jika kita berasumsi bahwa mungkin untuk menarik garis arus representatif melalui sistem, kita dapat menggabungkan istilah Δ(p/ρ) dan Ec untuk mendapatkan hubungan perkiraan berikut (lihat §7.8):Kemudian, setelah membagi Persamaan 7.4-5 dengan w1 = w2 = w, kita mendapatkan:Di sini, Persamaan 7.4-7 adalah versi neraca energi mekanik dalam keadaan tunak yang paling sering digunakan. Untuk sistem isothermal, istilah integral dapat dihitung selama ekspresi untuk densitas sebagai fungsi tekanan tersedia.

Persamaan 7.4-7 harus dibandingkan dengan Persamaan 3.5-12, yang merupakan persamaan Bernoulli “klasik” untuk fluida tanpa viskositas. Jika kita menambahkan kerja Wm yang dilakukan oleh lingkungan di sisi kanan Persamaan 3.5-12 dan mengurangi istilah disipasi viskositas Ev, serta menafsirkan kecepatan sebagai rata-rata yang sesuai di lintasan melintang, maka kita mendapatkan Persamaan 7.4-7.

Ini memberikan “argumen kelayakan” untuk Persamaan 7.4-7 dan tetap mempertahankan gagasan dasar bahwa neraca energi mekanik makroskopis berasal dari persamaan gerak (yaitu, dari hukum konservasi momentum). Derivasi lengkap neraca energi mekanik makroskopis diberikan di §7.8 bagi mereka yang tertarik.

Catatan untuk aliran turbulen:

Untuk aliran turbulen, kita mengganti dan mengabaikan kontribusi dari fluktuasi turbulen.
Praktik umum adalah mengganti kuotien . Untuk profil kecepatan hukum kekuatan 3 yang diberikan dalam Persamaan 5.1-4, dapat ditunjukkan bahwa sehingga kesalahannya sekitar 6%.
Kami selanjutnya mengabaikan tanda kurung dan garis atas untuk menyederhanakan notasi dalam aliran turbulen.

Example: Gaya yang Diberikan oleh Jet
(Part b)

Lanjutkan masalah dalam Contoh 7.2-1 dengan mempertimbangkan penyebaran jet saat bergerak ke atas.

SOLUTION

Sekarang kita mengizinkan diameter jet meningkat seiring dengan bertambahnya z seperti yang ditunjukkan pada Gambar 7.2-1(b). Lebih mudah untuk bekerja dengan tiga bidang dan membuat neraca antara pasangan bidang. Jarak antara bidang 2 dan 3 dianggap sangat kecil.

Neraca massa antara bidang 1 dan 2 memberikan:Selanjutnya, kita terapkan neraca energi mekanik dari Persamaan 7.4-5 atau 7.4-7 antara dua bidang yang sama. Tekanan di bidang 1 dan 2 keduanya atmosfer, dan tidak ada kerja yang dilakukan oleh bagian yang bergerak Wm. Kita anggap bahwa istilah disipasi viskositas Ev dapat diabaikan. Jika z diukur ke atas dari keluar tabung, maka , karena bidang 2 dan 3 sangat dekat. Dengan demikian, neraca energi mekanik memberikan:Sekarang kita terapkan neraca momentum z antara bidang 2 dan 3. Karena daerahnya sangat kecil, kita abaikan istilah terakhir dalam Persamaan 7.2-3. Kedua bidang berada pada tekanan atmosfer, sehingga istilah tekanan tidak berkontribusi. Kecepatan fluida adalah nol di bidang 3, jadi hanya ada dua istilah tersisa dalam neraca momentum.Dari ketiga persamaan di atas, kita memperoleh:Di mana adalah nilai yang diketahui. Ketika nilai numerik dimasukkan ke dalam Persamaan 7.4-10, kita mendapatkan h = 0.77 m. Ini kemungkinan hasil yang lebih baik dibandingkan nilai 0.87 m yang diperoleh dalam Contoh 7.2-1, karena memperhitungkan penyebaran jet. Namun, kita belum mempertimbangkan air yang menempel pada disk, yang memberikan massa efektif disk-rod yang sedikit lebih besar. Selain itu, resistensi gesekan rod dalam sleeve diabaikan. Penting untuk melakukan eksperimen guna menilai validitas Persamaan 7.4-10.