Keseimbangan massa makroskopis
THE MACROSCOPIC MASS BALANCE
Pada sistem yang ditunjukkan pada Gambar 7.0-1, fluida masuk ke dalam sistem di bidang 1 dengan penampang S, dan keluar di bidang 2 dengan penampang S₂. Kecepatan rata-rata adalah (v₁) di bidang masuk dan (v₂) di bidang keluar. Dalam bagian ini dan bagian selanjutnya, kita memperkenalkan dua asumsi yang tidak terlalu membatasi: (i) di bidang 1 dan 2, kecepatan yang dihaluskan secara waktu tegak lurus terhadap penampang yang relevan, dan (ii) di bidang 1 dan 2, kerapatan dan sifat fisik lainnya seragam di seluruh penampang.
Hukum kekekalan massa untuk sistem ini kemudian adalah
Di sini, m = ∫ρdV adalah total massa fluida yang ada di dalam sistem antara bidang 1 dan 2. Kami sekarang memperkenalkan simbol w = ρ(v)S untuk laju aliran massa, dan notasi Δw = w₂ – w₁ (nilai keluar dikurangi nilai masuk). Maka, neraca massa makroskopis dalam kondisi tak tunak menjadi
Jika total massa fluida tidak berubah seiring waktu, maka kita mendapatkan neraca massa makroskopis dalam kondisi tunak (steady-state)
Pernyataan neraca massa makroskopis dalam kondisi tunak (steady state) adalah bahwa laju massa yang masuk sama dengan laju massa yang keluar. Dalam konteks ini, “steady state” berarti turunan waktu di sisi kiri persamaan 7.1-2 adalah nol. Namun, di dalam sistem, karena adanya bagian yang bergerak, ketidakstabilan aliran, dan turbulensi, mungkin ada daerah dengan aliran yang tidak stabil.
Example: Pengosongan Tangki Spherical
Sebuah tangki berbentuk bola dengan radius R dan pipa drainase dengan panjang L dan diameter D terisi penuh dengan minyak berat. Pada waktu t = 0, katup di bagian bawah pipa drainase dibuka. Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk mengosongkan tangki tersebut? Ada ventilasi udara di bagian atas tangki bola. Abaikan jumlah minyak yang menempel pada permukaan dalam tangki, dan anggap bahwa aliran di pipa drainase adalah laminar.
SOLUTION
Kita memberi label pada tiga bidang seperti yang ditunjukkan pada Gambar 7.1-1, dan kita biarkan level cairan sesaat di atas bidang 2 adalah h(t). Maka, pada waktu t, total massa cairan di dalam bola adalah
Total massa cairan di dalam bola dapat diperoleh dengan kalkulus integral. Karena tidak ada fluida yang melintasi bidang 1, kita tahu bahwa w_1 = 0. Laju aliran massa keluar w_2, yang ditentukan dari formula Hagen-Poiseuille, adalah
Formula Hagen-Poiseuille dikembangkan untuk aliran dalam kondisi tunak, tetapi digunakan di sini karena volume cairan dalam tangki berubah perlahan seiring waktu; ini adalah contoh pendekatan “quasi-tunak”. Ketika ekspresi untuk m_(tot) dan w_2 disubstitusi ke dalam Persamaan 7.1-2, setelah beberapa penataan, kita mendapatkan:
Sekarang kita singkat konstanta di sisi kanan persamaan sebagai A. Persamaan ini lebih mudah diintegrasikan jika kita membuat perubahan variabel menjadi H = h + L sehingga:
Kita sekarang mengintegrasikan persamaan ini antara t = 0 (ketika h = 2R atau H = 2R + L) dan t = t_efflux (ketika h = 0 atau H = L). Ini memberikan waktu efleks sebagai:
di mana A diberikan oleh sisi kanan Persamaan 7.1-6. Perhatikan bahwa kita telah memperoleh hasil ini tanpa analisis rinci tentang gerakan fluida di dalam bola.