KOEFISIEN PERPINDAHAN PANAS UNTUK PERPINDAHAN PAKSA DI TABUNG
HEAT TRANSFER COEFFICIENTS FOR FORCED CONVECTION IN TUBES
Pada bagian sebelumnya, kami telah menunjukkan bahwa angka Nusselt untuk beberapa aliran laminair dapat dihitung dari prinsip dasar. Di bagian ini, kami menunjukkan bagaimana analisis dimensi mengarah pada bentuk umum untuk ketergantungan angka Nusselt pada berbagai kelompok tanpa dimensi, dan bahwa bentuk ini mencakup tidak hanya hasil dari bagian sebelumnya, tetapi juga aliran turbulen. Selanjutnya, kami menyajikan plot tanpa dimensi dari angka Nusselt yang diperoleh dengan mengkorelasikan data eksperimen.
Pertama, kami memperluas analisis dimensi yang diberikan di 11.5 untuk mendapatkan bentuk umum untuk korelasi koefisien perpindahan panas dalam perpindahan paksa. Pertimbangkan aliran laminair atau turbulen dari fluida Newtonian yang digerakkan secara terus-menerus melalui tabung lurus dengan jari-jari dalam R, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 14.3-1. Fluida masuk ke tabung pada z = 0 dengan kecepatan seragam sampai sangat dekat dengan dinding, dan dengan suhu masuk yang seragam TI (= Tbl). Dinding tabung diinsulasi kecuali di daerah 0 ≤ z ≤ L, di mana suhu permukaan dalam yang seragam To dipertahankan oleh panas dari uap yang mengembun di permukaan luar. Untuk saat ini, kami mengasumsikan sifat fisik p, p, k, dan C_ tetap. Nanti, kami akan memperluas empirisme yang diberikan di $14.2 untuk memberikan pertimbangan yang lebih lengkap terhadap ketergantungan suhu dari sifat-sifat ini.
Kami mengikuti prosedur yang sama yang digunakan di 6.2 untuk faktor gesekan. Kami mulai dengan menuliskan ekspresi untuk aliran panas instan dari dinding tabung ke dalam fluida dalam sistem yang dijelaskan di atas.
yang berlaku untuk aliran laminair atau turbulen (dalam aliran laminair, Q tentu saja tidak bergantung pada waktu). Tanda + muncul di sini karena panas ditambahkan ke sistem dalam arah negatif r.
Dengan menyamakan ekspresi untuk Q yang diberikan dalam Persamaan 14.1-2 dan 14.3-1 dan menyelesaikannya untuk h, kita mendapatkan:
Selanjutnya, kita memperkenalkan kuantitas tak berdimensi i = r/D, i = z/D, dan η = (T – T₀) / (Tbl – T₀), dan mengalikan dengan D/k untuk mendapatkan ekspresi untuk angka Nusselt Nuₗ = hₗD/k:
Dengan demikian, angka Nusselt (instan) pada dasarnya adalah gradien suhu tak berdimensi yang dirata-ratakan di seluruh permukaan perpindahan panas.
Gradien suhu tak berdimensi yang muncul dalam Persamaan 14.3-3 dapat, dalam prinsip, dievaluasi dengan mendiferensiasi ekspresi untuk ? yang diperoleh dengan menyelesaikan Persamaan 11.5-7, 8, dan 9 dengan kondisi batas.
di mana i7 = v/(uZ), dan 9 = (9 – 91)/p(v,)². Seperti pada 6.2, kami telah mengabaikan istilah d²/di² dari persamaan perubahan berdasarkan pemikiran orde-magnitudo yang mirip dengan yang terdapat dalam 4.4. Dengan istilah-istilah tersebut diabaikan, transportasi panas dan momentum hulu dikecualikan, sehingga solusi hulu dari bidang 2 pada Gambar 14.3-1 tidak bergantung pada L/D. Dari Persamaan 11.5-7, 8, dan 9 serta kondisi batas ini, kami menyimpulkan bahwa distribusi suhu tak berdimensi yang instan harus berbentuk sebagai berikut:
Substitusi hubungan ini ke dalam Persamaan 14.3-3 menghasilkan kesimpulan bahwa NU(^) = Nul(Re, Pr, Br, L/D, i). Ketika dirata-ratakan seiring waktu selama interval yang cukup panjang untuk mencakup semua gangguan turbulen, ini menjadi
Hubungan serupa berlaku ketika aliran pada bidang 1 sepenuhnya berkembang. Jika, seperti yang sering terjadi, pemanasan akibat dissipasi viskos kecil, maka Persamaan 14.3-10 disederhanakan menjadi
Oleh karena itu, analisis dimensi memberi tahu kita bahwa, untuk perpindahan panas konveksi paksa dalam tabung melingkar dengan suhu dinding konstan, nilai-nilai eksperimental dari koefisien perpindahan panas h1 dapat dikorelasikan dengan memberikan Nu sebagai fungsi dari bilangan Reynolds, bilangan Prandtl, dan rasio geometris L/D. Ini harus dibandingkan dengan situasi serupa, tetapi lebih sederhana, dengan faktor gesekan (Persamaan 6.2-9 dan 10). Penalaran yang sama mengarah pada ungkapan serupa untuk koefisien perpindahan panas lainnya yang telah kita definisikan. Dapat ditunjukkan (lihat Masalah 14.B-4) bahwa
di mana Nu = hD/k, Nul = h1D/k, dan Nu = h2D/k. Artinya, untuk setiap koefisien perpindahan panas, ada angka Nusselt yang sesuai. Angka Nusselt ini, tentu saja, saling terkait (lihat Masalah 14.B-5). Bentuk fungsional umum untuk angka Nusselt ini memiliki dasar ilmiah yang kokoh, karena melibatkan hanya analisis dimensi dari persamaan perubahan dan kondisi batas.
Dengan demikian, kita telah mengasumsikan bahwa sifat fisik adalah konstanta di seluruh rentang suhu yang ditemui dalam sistem aliran. Di akhir s14.2, kami menunjukkan bahwa mengevaluasi sifat fisik pada suhu film adalah empirisme yang cocok. Namun, untuk perbedaan suhu yang sangat besar, variasi viskositas dapat menyebabkan distorsi besar pada profil kecepatan, sehingga perlu untuk memperhitungkannya dengan memperkenalkan kelompok tak berdimensi tambahan, pb/po, di mana pb adalah viskositas pada suhu rata-rata bulk aritmetik dan po adalah viskositas pada suhu rata-rata dinding aritmetik. Dengan demikian, kita dapat menulis
Tipe korelasi ini tampaknya pertama kali dipresentasikan oleh Sieder dan Tate. Jika, selain itu, densitas bervariasi secara signifikan, maka beberapa konveksi bebas dapat terjadi. Efek ini dapat diperhitungkan dalam korelasi dengan menyertakan angka Grashof bersama dengan kelompok tak berdimensi lainnya. Poin ini akan dibahas lebih lanjut dalam 914.6.
Mari kita berhenti sejenak untuk merenungkan pentingnya diskusi di atas dalam membangun korelasi perpindahan panas. Koefisien perpindahan panas h tergantung pada delapan kuantitas fisik (D, v, p, p0, pb, Cp, k, L). Namun, Eq. 14.3-15 memberi tahu kita bahwa ketergantungan ini dapat dinyatakan dengan lebih ringkas dengan memberikan Nu sebagai fungsi dari hanya empat kelompok tak berdimensi (Re, Pr, L/D, pb/po). Jadi, alih-alih mengambil data pada h untuk 5 nilai dari masing-masing delapan kuantitas fisik individual (58 tes), kita dapat mengukur h untuk 5 nilai dari kelompok tak berdimensi (5 tes)—suatu penghematan waktu dan usaha yang cukup dramatis.
Pandangan global yang baik tentang perpindahan panas dalam tabung melingkar dengan suhu dinding yang hampir konstan dapat diperoleh dari korelasi Sieder dan Tate yang ditunjukkan dalam Fig. 14.3-2. Ini memiliki bentuk Eq. 14.3-15. Secara empiris telah ditemukan bahwa transisi menuju turbulensi biasanya dimulai pada sekitar Re = 2100, bahkan ketika viskositas bervariasi secara mencolok di arah radial.
Untuk aliran turbulen yang sangat tinggi, kurva untuk L/D > 10 berkonvergensi ke satu kurva. Untuk Re > 20,000, kurva ini dijelaskan oleh persamaan:
Persamaan ini mereproduksi data eksperimental yang tersedia dalam kisaran sekitar ±20% pada rentang 10⁴ < Re < 10⁵ dan 0.6 < Pr < 100.
Untuk aliran laminar, garis menurun di sebelah kiri diberikan oleh persamaan:
Gambar 14.3-2. Koefisien perpindahan panas untuk aliran sepenuhnya terdevelop dalam tabung halus. Garis untuk aliran laminar tidak boleh digunakan dalam rentang RePrD/L < 10, yang sesuai dengan (T0 – Tb)/(T0 – T1) < 0.2. Kurva laminar didasarkan pada data untuk RePrD/L >> 10 dan suhu dinding yang hampir konstan; dalam kondisi ini, h dan k tidak dapat dibedakan. Kami merekomendasikan menggunakan k dibandingkan dengan h yang disarankan oleh Sieder dan Tate, karena pilihan ini lebih konservatif dalam perhitungan desain penukar panas yang biasa. [E. N. Sieder dan G. E. Tate, Ind. Eng. Chem., 28,1429-1435 (1936)]
yang didasarkan pada Persamaan (C) dari Tabel 14.2-14 dan Masalah 12D.4. Koefisien numerik dalam Persamaan (C) telah dikalikan dengan faktor 1/2 untuk mengonversi dari h_ln menjadi h_l, dan kemudian dimodifikasi secara empiris untuk memperhitungkan deviasi yang disebabkan oleh sifat fisik yang bervariasi. Ini menggambarkan bagaimana suatu korelasi empiris yang memuaskan dapat diperoleh dengan memodifikasi hasil derivasi analitis. Persamaan 14.3-17 baik dalam batas sekitar 20% untuk RePrD/L > 10, tetapi pada nilai lebih rendah dari RePrD/L, ia secara signifikan meremehkan h_l. Keberadaan Pr^1/3 dalam Persamaan 14.3-16 dan 17 konsisten dengan asimtot besar untuk Prandtl yang ditemukan dalam 9913.6 dan 12.4.
Wilayah transisi, sekitar 2100 < Re < 8000 dalam Gambar 14.3-2, tidak dipahami dengan baik dan biasanya dihindari dalam desain jika memungkinkan. Kurva dalam wilayah ini didukung oleh pengukuran eksperimen tetapi kurang dapat diandalkan dibandingkan dengan sisa plot.
Karakteristik umum dari kurva dalam Gambar 14.3-2 layak untuk ditelaah dengan cermat. Perhatikan bahwa untuk bagian yang dipanaskan dengan L dan D tertentu dan fluida dengan sifat fisik tertentu, ordinatnya sebanding dengan kenaikan suhu tanpa dimensi dari fluida yang melewatinya—yaitu, T_0 – T_b/T_0 – T_b\T_ln. Dalam kondisi ini, seiring dengan meningkatnya laju aliran (atau bilangan Reynolds), suhu fluida keluar akan pertama-tama menurun hingga Re mencapai sekitar 2100, kemudian meningkat hingga Re mencapai sekitar 8000, dan akhirnya menurun lagi. Pengaruh L/D pada h_l sangat jelas dalam aliran laminar tetapi menjadi tidak signifikan untuk Re > 8000 dengan L/D > 60.
Perhatikan juga bahwa Gambar 14.3-2 agak mirip dengan plot faktor gesekan di Gambar 6.2-2, meskipun situasi fisiknya sangat berbeda. Dalam rentang turbulen yang sangat tinggi (Re > 10,000), ordinat transfer panas kira-kira sebanding dengan f/2 untuk pipa halus yang panjang yang sedang dipertimbangkan. Hal ini pertama kali dicatat oleh Colburn, yang mengusulkan analogi empiris berikut untuk tabung halus yang panjang:
di mana S adalah luas penampang pipa, w adalah laju aliran massa melalui pipa, dan f/2 dapat diperoleh dari Gambar 6.2-2 menggunakan Re = Dw/Sp = 4w/n-Dp. Jelas bahwa analogi dari Persamaan 14.3-18 tidak berlaku di bawah Re = 10,000. Untuk pipa kasar dengan aliran turbulen yang sepenuhnya berkembang, analogi ini sepenuhnya rusak, karena f lebih dipengaruhi oleh kekasaran dibandingkan dengan j.
Satu pernyataan tambahan tentang penggunaan Gambar 14.3-2 berkaitan dengan penerapan pada saluran dengan penampang non-sirkuler. Untuk aliran turbulen yang sangat tinggi, seseorang dapat menggunakan jari-jari hidraulik rata-rata dari Persamaan 6.2-16. Untuk menerapkan empirisme itu, D diganti dengan 4R di mana-mana dalam angka Reynolds dan Nusselt.
Example 13.3-1: Desain Pemanas Tubular
Udara pada 70°F dan 1 atm akan dipompa melalui pipa lurus dengan diameter dalam 2 inci pada laju 70 lb/jam. Sebuah bagian dari pipa akan dipanaskan hingga suhu dinding dalam 250°F untuk menaikkan suhu udara menjadi 230°F. Berapa panjang yang diperlukan untuk pemanasan?
SOLUTION
Rata-rata suhu bulk aritmetik adalah T, = 150°F, dan suhu film adalah Tf = (150 + 250)/2 = 200°F. Pada suhu ini, sifat-sifat udara adalah p = 0.052 lb/ft·hr, Cp = 0.242 Btu/lb·°F, k = 0.0180 Btu/hr·ft·°F, dan Pr = Cpp/k = 0.70. Viskositas udara pada 150°F dan 250°F adalah 0.049 dan 0.055 lb/ft·hr, masing-masing, sehingga rasio viskositas adalah pb/po = 0.049/0.055 = 0.89.
Angka Reynolds, dievaluasi pada suhu film, 200°F, adalah:
Dari Gambar 14.3-1, kita memperoleh:
Ketika ini diselesaikan untuk L/D, kita mendapatkan:
Oleh karena itu, panjang yang dibutuhkan adalah:
Jika Reb jauh lebih kecil, maka perlu memperkirakan L/D sebelum melihat Fig. 14.3-2, sehingga memulai proses coba-coba.
Perhatikan bahwa dalam masalah ini kita tidak perlu menghitung h. Namun, evaluasi numerik h diperlukan dalam masalah yang lebih rumit, seperti pertukaran panas antara dua fluida dengan dinding yang memisahkan.