Konduksi Panas dengan Sumber Panas Elektrik
HEAT CONDUCTION WITH AN ELECTRICAL HEAT SOURCE
Sistem pertama yang kami pertimbangkan adalah kawat listrik dengan penampang melintang berbentuk lingkaran dengan radius R dan konduktivitas listrik ke ohm^-1 cm^-1. Melalui kawat ini mengalir arus listrik dengan kerapatan arus I amp/cm². Transmisi arus listrik adalah proses yang tidak dapat dipulihkan, dan sebagian energi listrik diubah menjadi panas (energi termal). Laju produksi panas per unit volume diberikan oleh ekspresi
Kuantitas S adalah sumber panas yang dihasilkan dari dissipasi listrik. Kami mengasumsikan bahwa kenaikan suhu dalam kawat tidak cukup besar sehingga ketergantungan suhu terhadap konduktivitas termal atau listrik perlu dipertimbangkan. Permukaan kawat dipertahankan pada suhu T_o. Sekarang, kita akan menunjukkan cara menemukan distribusi suhu radial dalam kawat.
Untuk neraca energi, kita anggap sistemnya adalah cangkang silindris dengan ketebalan Δr dan panjang L (lihat Gambar 10.2-1). Karena v = 0 dalam sistem ini, satu-satunya kontribusi pada neraca energi adalah
Notasi q_r berarti “aliran panas dalam arah r,” dan (…)|r+Δr berarti “dievaluasi pada r + Δr.” Perhatikan bahwa “masuk” dan “keluar” dianggap dalam arah r positif.
Sekarang, kita substitusi kuantitas ini ke dalam neraca energi Eq. 9.1-1. Pembagian dengan 2πLΔr dan mengambil batas saat Δr mendekati nol menghasilkan
Ekspresi di sisi kiri adalah turunan pertama dari rq_r terhadap r, sehingga Persamaan 10.2-5 menjadi:
Gambar 10.2-1. Sebuah kawat yang dipanaskan secara elektrik, menunjukkan cangkang silindris tempat neraca energi dibuat.
Ini adalah persamaan diferensial orde pertama untuk fluks energi, dan dapat diintegrasikan untuk menghasilkan
Konstanta integrasi C1 harus nol karena kondisi batas yang
Oleh karena itu, ekspresi akhir untuk distribusi fluks panas adalah
Pernyataan ini menunjukkan bahwa fluks panas meningkat secara linear dengan r. Sekarang kita substitusi hukum Fourier dalam bentuk q_r = -k(dT/dr) (lihat Eq. B.2-4) ke dalam Eq. 10.2-9 untuk mendapatkan
Ketika k dianggap konstan, persamaan diferensial orde pertama ini dapat diintegrasikan untuk menghasilkan
Konstanta integrasi ditentukan dari
Oleh karena itu, 
dan Persamaan 10.2-11 menjadi
Persamaan 10.2-13 menunjukkan bahwa kenaikan suhu merupakan fungsi parabola dari jarak r dari sumbu kawat.
Setelah distribusi suhu dan fluks panas diketahui, berbagai informasi tentang sistem dapat diperoleh:
(i) Kenaikan suhu maksimum (pada r = 0)
(ii) Kenaikan suhu rata-rata
Dengan demikian, kenaikan suhu rata-rata, yang dihitung dari penampang lintang, adalah setengah dari kenaikan suhu maksimum.
(iii) Aliran panas keluar di permukaan (untuk panjang L dari kawat)
Hasil ini tidak mengejutkan, karena pada keadaan mantap, seluruh panas yang dihasilkan oleh dissipasi listrik dalam volume πR²L harus keluar melalui permukaan r = R.
Pembaca, saat mengikuti perkembangan ini, mungkin merasa déjà vu. Ternyata ada kesamaan yang mencolok antara masalah kawat yang dipanaskan dan aliran viskos dalam tabung melingkar. Hanya notasinya yang berbeda.
Dengan kata lain, ketika kuantitas dipilih dengan tepat, persamaan diferensial dan kondisi batas untuk kedua masalah tersebut identik, dan proses fisik dianggap “analog.” Tidak semua masalah dalam transfer momentum memiliki analog dalam transportasi energi dan massa. Namun, jika analogi dapat ditemukan, mereka bisa berguna untuk menerapkan hasil yang dikenal dari satu bidang ke bidang lainnya. Misalnya, pembaca tidak akan kesulitan menemukan analog konduksi panas untuk aliran viskos dalam film cair di bidang miring.
Ada banyak contoh masalah konduksi panas dalam industri listrik. Meminimalkan kenaikan suhu di dalam mesin listrik memperpanjang umur isolasi. Salah satu contohnya adalah penggunaan konduktor stator yang didinginkan secara internal dengan cairan dalam generator AC yang sangat besar (500.000 kW).
Untuk mengilustrasikan lebih lanjut masalah pemanasan listrik, kami memberikan dua contoh terkait kenaikan suhu pada kawat: yang pertama menunjukkan urutan besaran efek pemanasan, dan yang kedua menunjukkan cara menangani kondisi batas yang berbeda. Selain itu, dalam Masalah 10C.2, kami menunjukkan bagaimana mempertimbangkan ketergantungan suhu terhadap konduktivitas termal dan listrik.
Example 10.2-1: Voltase yang Diperlukan untuk Kenaikan Suhu Tertentu pada Kawat yang Dipanaskan oleh Arus Listrik
Sebuah kawat tembaga memiliki radius 2 mm dan panjang 5 m. Berapa besar penurunan tegangan yang diperlukan agar kenaikan suhu di sumbu kawat mencapai 10°C, jika suhu permukaan kawat adalah 20°C?
SOLUTION
Menggabungkan Persamaan 10.2-14 dan 10.2-1 menghasilkan
Kerapatan arus terkait dengan penurunan tegangan E sepanjang panjang L dengan
Oleh karena itu,
dari mana
Untuk tembaga, angka Lorenz sebesar 59,5 adalah 
. Oleh karena itu, penurunan tegangan yang diperlukan untuk menyebabkan kenaikan suhu 10°C adalah
