KONDUKSI PANAS STEADY DALAM ALIRAN LAMINAR, INKOMPRISIBLE
STEADY HEAT CONDUCTION IN LAMINAR, INCOMPRESSIBLE FLOW
Dalam pembahasan sebelumnya mengenai konduksi panas dalam padatan, kita hanya perlu menggunakan persamaan energi. Namun, untuk masalah yang melibatkan fluida yang mengalir, ketiga persamaan perubahan diperlukan. Di sini, kami membatasi diskusi pada aliran steady dari fluida Newtonian inkompresibel dengan sifat fluida yang konstan, di mana persamaan perubahan yang relevan adalah:
Dalam Persamaan 12.2-3, Ф, adalah fungsi disipasi yang diberikan dalam Persamaan 3.3-3. Untuk mendapatkan profil suhu untuk konveksi paksa, prosedur dua langkah digunakan: pertama, Persamaan 12.2-1 dan 2 diselesaikan untuk mendapatkan distribusi kecepatan v(r, t); kemudian ekspresi untuk v dimasukkan ke dalam Persamaan 12.2-3, yang selanjutnya dapat diselesaikan untuk mendapatkan distribusi suhu T(r, t).
Banyak solusi analitik dari Persamaan 12.2-1 hingga 3 tersedia untuk situasi yang sering ditemui. Salah satu masalah konveksi paksa yang tertua adalah masalah Graetz-Nusselt, yang menggambarkan profil suhu dalam aliran pipa di mana suhu dinding mengalami perubahan langkah mendadak pada beberapa posisi sepanjang pipa (lihat Masalah 12D.2, 3, dan 4). Solusi serupa telah diperoleh untuk variasi suhu dan fluks dinding yang sewenang-wenang. Masalah Graetz-Nusselt juga telah diperluas untuk fluida non-Newtonian. Solusi juga telah dikembangkan untuk kelas besar masalah penukar panas laminar, di mana kondisi batas dinding diberikan oleh kontinuitas fluks panas di permukaan yang memisahkan dua aliran. Masalah lebih lanjut yang menarik adalah aliran saluran dengan efek pemanasan viskos yang signifikan (masalah Brinkman).
Dalam bagian ini, kami memperluas diskusi tentang masalah yang ditangani dalam s10.8—yaitu, penentuan profil suhu untuk aliran laminar dari fluida inkompresibel dalam pipa melingkar. Dalam bagian tersebut, kami menetapkan masalah dan menemukan solusi asimptotik untuk jarak yang jauh ke hilir dari awal zona pemanasan. Di sini, kami memberikan solusi lengkap untuk persamaan diferensial parsial serta solusi asimptotik untuk jarak pendek. Artinya, sistem yang ditunjukkan dalam Gambar 10.8-2 dibahas dari tiga sudut pandang dalam buku ini:
a. Solusi lengkap dari persamaan diferensial parsial dengan metode pemisahan variabel (Contoh 12.2-1).
b. Solusi asimptotik untuk jarak pendek di sepanjang pipa dengan metode kombinasi variabel (Contoh 12.2-2).
c. Solusi asimptotik untuk jarak besar di sepanjang pipa (s10.8).
Example 12.2-1: Aliran Tabung Laminar dengan Fluks Panas Konstan di Dinding
Selesaikan Persamaan 10.8-19 dengan kondisi batas yang diberikan dalam Persamaan 10.8-20, 21, dan 22
SOLUTION
Solusi lengkap untuk suhu diasumsikan memiliki bentuk berikut:
di mana 
adalah solusi asimptotik yang diberikan dalam Persamaan 10.8-31, dan 
adalah fungsi yang akan teredam secara eksponensial dengan 
Dengan mengganti ekspresi untuk 
dalam Persamaan 12.2-4 ke dalam Persamaan 10.8-19, dapat ditunjukkan bahwa fungsi harus memenuhi Persamaan 10.8-19 dan juga kondisi batas berikut:
Kami mengantisipasi bahwa solusi untuk persamaan untuk 
akan dapat difaktorkan,
Kemudian Persamaan 10.8-19 dapat dipisahkan menjadi dua persamaan diferensial biasa.
di mana -c² adalah konstanta pemisahan. Karena kondisi batas pada 
pada θ = 0, 1, kita memiliki masalah Sturm-Liouville. Oleh karena itu, kita tahu akan ada jumlah eigenvalue c_k dan eigenfungsi X_k yang tak terbatas, dan bahwa solusi akhir harus dalam bentuk
Masalah ini kemudian direduksi menjadi menemukan eigenfungsi 
dengan menyelesaikan Persamaan 12.2-10, dan kemudian mendapatkan nilai eigen c_k dengan menerapkan kondisi batas pada θ = 1. Ini telah dilakukan untuk k hingga 7 untuk masalah ini.