Konveksi Bebas
FREE CONVECTION
Pada bagian 10.8 kita memberikan contoh konveksi paksa. Di bagian ini, kita beralih ke masalah konveksi bebas yang sederhana—yakni, aliran antara dua dinding paralel yang dijaga pada suhu berbeda (lihat Gambar 10.9-1).
Fluida dengan densitas ρ dan viskositas μ berada di antara dua dinding vertikal yang berjarak 2B. Dinding yang dipanaskan pada y = -B dijaga pada suhu T₀, dan dinding yang didinginkan pada y = +B dijaga pada suhu T₁. Diasumsikan bahwa perbedaan suhu cukup kecil sehingga istilah yang mengandung ΔT² dapat diabaikan.
Karena gradien suhu dalam sistem, fluida di dekat dinding panas naik, dan di dekat dinding dingin turun. Sistem ini tertutup di bagian atas dan bawah, sehingga fluida terus beredar di antara pelat.
Gambar 10.9-1. Aliran konveksi bebas laminar di antara dua pelat vertikal dengan suhu yang berbeda. Kecepatan merupakan fungsi kubik dari koordinat y.
Laju aliran massa fluida pada aliran yang bergerak ke atas sama dengan yang ada pada aliran yang bergerak ke bawah. Diasumsikan bahwa pelat sangat tinggi, sehingga efek ujung dekat bagian atas dan bawah dapat diabaikan. Oleh karena itu, untuk semua tujuan praktis, suhu hanya bergantung pada y.
Sebuah neraca energi dapat dibuat pada lapisan tipis fluida dengan ketebalan Δy, menggunakan komponen y dari vektor fluks energi gabungan e seperti yang diberikan dalam Persamaan 9.8-6. Istilah yang mengandung energi kinetik dan entalpi dapat diabaikan, karena komponen y dari vektor v adalah nol. Komponen y dari istilah [T · v] adalah τₓᵧvₓ = -μ(dvₓ/dy)vₓ, yang akan menyebabkan kontribusi pemanasan viskos yang dibahas dalam bagian 10.4. Namun, pada aliran yang sangat lambat seperti yang ditemukan pada konveksi bebas, istilah ini sangat kecil dan dapat diabaikan. Neraca energi kemudian menghasilkan persamaan berikut.
untuk k yang konstan. Persamaan suhu ini harus diselesaikan dengan kondisi batas berikut:
Solusi untuk masalah ini adalah:
di mana ΔT = T₀ – T₁ adalah perbedaan suhu dinding, dan Tₘ = ½(T₀ + T₁) adalah rata-rata aritmetika suhu tersebut.
Dengan membuat neraca momentum pada lapisan fluida dengan ketebalan Δy yang sama, kita memperoleh persamaan diferensial untuk distribusi kecepatan.
Di sini, viskositas dianggap konstan (lihat Masalah 10B.11 untuk solusi dengan viskositas yang bergantung pada suhu).
Fenomena konveksi bebas terjadi karena ketika fluida dipanaskan, densitasnya (biasanya) menurun dan fluida naik. Deskripsi matematis sistem harus mempertimbangkan fitur penting dari fenomena ini. Karena perbedaan suhu ΔT = T₀ – T₁ dianggap kecil dalam masalah ini, dapat diperkirakan bahwa perubahan densitas dalam sistem juga akan kecil. Ini menunjukkan bahwa kita seharusnya mengembangkan ekspansi ρ dalam deret Taylor sekitar suhu T = ½(T₀ + T₁) sebagai berikut:
Di sini ρ dan β adalah densitas dan koefisien ekspansi volume yang dievaluasi pada suhu T. Koefisien ekspansi volume didefinisikan sebagai:
Kita sekarang memperkenalkan persamaan keadaan “Taylor-made” dari Persamaan 10.9-6 (hanya menyimpan dua istilah) ke dalam persamaan gerakan dalam Persamaan 10.9-5 untuk mendapatkan:
Persamaan ini menggambarkan keseimbangan antara gaya viskos, gaya tekanan, gaya gravitasi, dan gaya apung ρg(T – Tₐ) (semua per unit volume). Ke dalam persamaan ini, kita sekarang substitusikan distribusi suhu yang diberikan dalam Persamaan 10.9-4 untuk mendapatkan persamaan diferensial:
yang harus diselesaikan dengan kondisi batas:
Solusinya adalah:
Kita sekarang memerlukan agar aliran massa netto dalam arah z menjadi nol, yaitu:
Penggantian v dari Persamaan 10.9-12 dan ρ dari Persamaan 10.9-6 dan 10.9-4 ke dalam integral ini menghasilkan kesimpulan bahwa:
ketika istilah yang mengandung kuadrat dari kuantitas kecil ΔT diabaikan. Persamaan 10.9-14 menyatakan bahwa gradien tekanan dalam sistem disebabkan semata-mata oleh berat fluida, dan distribusi tekanan hidrostatik yang biasa berlaku. Oleh karena itu, istilah kedua di sisi kanan Persamaan 10.9-12 dihilangkan, dan ekspresi akhir untuk distribusi kecepatan adalah:
Kecepatan rata-rata dalam aliran yang bergerak ke atas adalah:
Gerakan fluida ini merupakan hasil langsung dari istilah gaya apung dalam Persamaan 10.9-8, yang terkait dengan gradien suhu dalam sistem. Distribusi kecepatan dari Persamaan 10.9-15 ditunjukkan dalam Gambar 10.9-1. Jenis distribusi kecepatan ini juga terjadi di ruang udara pada jendela kaca ganda atau pada panel dinding ganda di bangunan. Ini juga merupakan jenis aliran yang terjadi dalam operasi kolom Clusius-Dickel yang digunakan untuk memisahkan isotop atau campuran cairan organik melalui efek gabungan difusi termal dan konveksi bebas.
Distribusi kecepatan dalam Persamaan 10.9-15 dapat ditulis ulang menggunakan kecepatan tak berdimensi θ = Bv/ρg dan koordinat tak berdimensi ξ = y/B sebagai berikut:
Di sini Gr adalah bilangan Grashof tak berdimensi, yang didefinisikan sebagai:
di mana Δρ = ρ₀ – ρ₁. Bentuk kedua dari bilangan Grashof diperoleh dari bentuk pertama dengan menggunakan Persamaan 10.9-6. Bilangan Grashof adalah kelompok karakteristik yang muncul dalam analisis konveksi bebas, seperti yang ditunjukkan oleh analisis dimensional di Bab 11. Bilangan ini muncul dalam korelasi koefisien perpindahan panas di Bab 14.