2.1       Neraca Momentum Kulit dan Kondisi Batas

 

Berikut adalah langkah-langkah untuk menyelesaikan masalah aliran kental menggunakan hukum kekekalan momentum:

1. Identifikasi Variabel dan Komponen

Komponen Kecepatan: Tentukan komponen kecepatan yang akan dianalisis. Misalnya, jika kita hanya memiliki satu komponen kecepatan   yang bergantung pada satu variabel spasial (seperti y dalam aliran pipa), fokuskan pada komponen tersebut.

2. Tulis Keseimbangan Momentum

Fluks Momentum Konvektif : Diberikan dalam Tabel 1.7-1.

Fluks Momentum Molekul : Diberikan dalam Tabel 1.2-1. Ini mencakup tekanan dan efek viskositas.

Keseimbangan momentum dalam arah aliran (misalnya arah x) dapat dituliskan sebagai:

di mana   adalah gradien tekanan dan    adalah fluks momentum yang disebabkan oleh viskositas.

3. Gunakan Cangkang Tipis untuk Mendapatkan Persamaan Diferensial

Cangkang Tipis: Bayangkan cangkang tipis yang tegak lurus terhadap variabel spasial y dengan ketebalan sangat kecil. Gunakan cangkang ini untuk menulis keseimbangan momentum dan mendapatkan persamaan diferensial.

Keseimbangan Momentum: Dengan ketebalan cangkang mendekati nol, kita memperoleh persamaan diferensial:

4. Temukan Distribusi Kecepatan

Integrasikan persamaan diferensial ini untuk mendapatkan distribusi kecepatan u (y). Terapkan kondisi batas yang sesuai untuk menentukan nilai konstanta integrasi.

Kesimpulan

Dengan mengikuti langkah-langkah ini, Anda dapat menyusun dan menyelesaikan masalah aliran kental. Ini melibatkan penentuan distribusi kecepatan dan pemahaman tentang fluks momentum dalam sistem. Di bab berikutnya, konsep ini akan diperluas untuk kasus aliran yang lebih kompleks dengan kecepatan yang bervariasi.

Untuk menyelesaikan masalah aliran fluida dan menentukan distribusi kecepatan serta gaya pada permukaan, ikuti langkah-langkah berikut:

1. Persamaan Momentum

Mulai dari hukum viskositas Newton yang menyatakan bahwa tegangan geser (Txy) berhubungan dengan gradien kecepatan. Dalam aliran laminar, persamaan momentum fluida dapat ditulis sebagai:

 

di mana µ adalah viskositas dinamis dan  adalah gradien tekanan.

2. Integrasi Persamaan untuk Kecepatan

Integrasikan persamaan diferensial dua kali untuk mendapatkan distribusi kecepatan u (y) Hasilnya adalah:

di mana A dan B adalah konstanta integrasi yang ditentukan dengan kondisi batas.

3. Menentukan Konstanta Integrasi

Terapkan kondisi batas:

Kondisi Tanpa : Kecepatan pada dinding pipa (atau permukaan padat) adalah nol .

Kecepatan pada Sumbu Pipa : Biasanya, kecepatan maksimum terjadi di tengah pipa.

4. Menentukan Besaran Lain

• Kecepatan Maksimum : Dapat dihitung dengan substitusi kondisi kecepatan maksimum ke dalam fungsi  .
• Kecepatan Rata-Rata : Diperoleh dengan menghitung rata-rata kecepatan sepanjang pipa.
• Gaya pada Permukaan : Hitung dengan integral tegangan geser pada permukaan pipa.

5. Kondisi Batas Lain

• Antarmuka Cair-Cair : Pastikan kecepatan tangensial kontinu di seluruh antarmuka.
• Antarmuka Cair-Gas : Biasanya, tegangan geser dianggap nol jika gradien kecepatan kecil.

Dengan mengikuti langkah-langkah ini, Anda dapat menentukan distribusi kecepatan dalam fluida serta berbagai parameter terkait seperti kecepatan maksimum dan gaya pada permukaan.

Kecepatan rata-rata diberikan oleh

---

2.2       Aliran Film yang Jatuh

Deskripsi Sistem:

• Pelat : Memiliki bentuk datar dan miring dengan panjang L dan lebar W.
• Cairan : Mengalir di atas pelat ini.

Aplikasi:

• Menara Dinding Basah: Digunakan untuk pendinginan dan proses pemisahan.
• Penguapan dan Penyerapan Gas: Dalam proses kimia dan industri.
• Pelapis: Untuk melapisi permukaan dengan bahan tertentu.

Asumsi:

Viskositas (kekentalan) dan densitas (massa jenis) cairan dianggap tetap dan tidak berubah.

Cara Menganalisis Aliran

1. Gangguan di Tepi Sistem:

Pada tepi-tepi pelat, seperti di z = 0, z = L, y = 0, dan y = W, aliran bisa terganggu. Ini membuat analisis menjadi lebih kompleks.

2. Deskripsi Aliran:

Walaupun sulit untuk menjelaskan semua detail aliran, kita sering kali cukup memberikan gambaran umum tentang bagaimana aliran terjadi di bagian tengah pelat, tanpa terlalu fokus pada gangguan di tepi.

Kesimpulan:

Aliran cairan di pelat datar miring penting dalam berbagai aplikasi industri. Meskipun ada gangguan di tepi pelat, biasanya kita fokus pada aliran utama di bagian tengah pelat, dengan asumsi viskositas dan densitas cairan tetap.

Gambar 2.2.1 Diagram skematik dari eksperimen film jatuh, menunjukkan efek ujung.

diperoleh dengan mengabaikan gangguan tersebut, terutama jika W dan L besar dibandingkan dengan ketebalan film 8. Untuk laju aliran kecil, kami mengharapkan bahwa gaya viskos akan mencegah percepatan cairan terus menerus ke bawah dinding, sehingga  akan menjadi independen terhadap z dalam jarak pendek ke bawah pelat. Oleh karena itu, tampaknya masuk akal untuk menpostulasikan bahwa  dan lebih lanjut bahwa  terlihat bahwa satu-satunya komponen τ yang tidak lenyap adalah  .

Kami sekarang memilih sebagai “sistem” sebuah kulit tipis tegak lurus terhadap arah x (lihat Gambar 2.2.2. Kemudian kami membuat neraca momentum z di atas kulit ini, yang merupakan suatu daerah dengan ketebalan , dibatasi oleh bidang-bidang Z = 0 dan Z = L, dan membentang sejauh W dalam arah y. Berbagai kontribusi terhadap neraca momentum kemudian diperoleh dengan bantuan kuantitas-kuantitas dalam kolom “” dari Tabel 1.2-1 dan 1.7-1. Dengan menggunakan komponen-komponen dari “tensor fluks momentum gabungan” Φ yang didefinisikan dalam 1.7-1 hingga 3, kita dapat memasukkan semua mekanisme yang mungkin untuk transpor momentum sekaligus.

Laju momentum z masuk melintasi permukaan  

Laju momentum z keluar melintasi permukaan 

Laju momentum z masuk melintasi permukaan  

Laju momentum z keluar melintasi permukaan  

Gaya gravitasi yang bekerja pada fluida dalam arah 

 

 Dengan menggunakan besaran-besaran  dan  , kita memperhitungkan transpor momentum z oleh semua mekanisme, konvektif dan molekuler. Perhatikan bahwa kita mengambil arah “masuk” dan “keluar” searah dengan sumbu x dan z yang positif (dalam masalah ini kebetulan berimpit dengan arah transpor momentum z). Notasi  berarti “dievaluasi pada “, dan g adalah percepatan gravitasi.

Ketika suku-suku ini disubstitusikan ke dalam neraca momentum z dari Persamaan 2.1-1, kita  mendapatkan 

Gambar 2.2.2 Kulit dengan ketebalan Δx di mana neraca momentum z dibuat.

Anak panah menunjukkan fluks momentum yang terkait dengan permukaan kulit. Karena vx dan vy keduanya nol,  dan  adalah nol. Karena  tidak bergantung pada y dan z, maka dari Tabel B.1 bahwa  . Oleh karena itu, fluks yang digarisbawahi putus-putus tidak perlu dipertimbangkan. Baik p maupun puxz sama pada , dan oleh karena itu tidak muncul dalam persamaan akhir untuk neraca momentum z, Persamaan 2.2-10.

Ketika persamaan ini dibagi dengan , dan limit diambil ketika  mendekati nol, kita mendapatkan

Suku pertama di ruas kiri persis merupakan definisi dari turunan  terhadap. Oleh karena itu, Persamaan 2.2-7 menjadi

Pada tahap ini, kita harus secara eksplisit menuliskan apa itu komponen  dan . Kita akan menggunakan definisi φ dalam Persamaan 1.7-1 sampai 1.7-3 dan ekspresi untuk  dan  dalam Appendix B.1. Dengan melakukan ini, kita memastikan tidak melewatkan bentuk-bentuk transpor momentum apapun. Sehingga kita mendapatkan

Sesuai dengan postulat bahwa , kita melihat bahwa (i) karena , suku  dalam Persamaan 2.2-9a adalah nol; (ii) karena  dalam Persamaan 2.2-9b adalah nol; (iii) karena  sama pada Z = 0    (iv) karena , kontribusi p sama pada . Oleh karena itu  hanya bergantung pada x, dan Persamaan 2.2-8 menyederhana menjadi

Persamaan diferensial ini untuk fluks momentum  dapat diintegralkan untuk memberikan

Konstanta integrasi dapat dievaluasi dengan menggunakan kondisi batas pada antarmuka gas-cair (lihat §2.1):

Substitusi kondisi batas ini ke dalam Persamaan 2.2-11 menunjukkan bahwa . Oleh karena itu distribusi fluks momentum adalah

seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.2-3

Selanjutnya kita substitusikan hukum viskositas Newton

ke dalam ruas kiri Persamaan 2.2-13 untuk mendapatkan

yang merupakan persamaan diferensial untuk distribusi kecepatan. Persamaan ini dapat diintegralkan untuk memberikan

Gambar 2.2.3 Hasil akhir untuk masalah film jatuh, menunjukkan distribusi fluks momentum dan distribusi kecepatan. Kulit dengan ketebalan Δx, di mana neraca momentum dibuat, juga ditunjukkan.

Konstanta integrasi dievaluasi dengan menggunakan kondisi batas tanpa slip pada permukaan padat:

Substitusi kondisi batas ini ke dalam Persamaan 2.2-16 menunjukkan bahwa  Akibatnya, distribusi kecepatan adalah