Saat ini, kita akan fokus pada penerapan hukum kekekalan energi untuk “cangkang” (seperti dalam keseimbangan cangkang di Bab 10) atau untuk elemen volume kecil yang tetap di ruang (untuk mengembangkan persamaan perubahan energi di §11.1). Hukum kekekalan energi untuk sistem aliran terbuka adalah perpanjangan dari hukum pertama termodinamika klasik (untuk sistem tertutup dalam keadaan diam). Dalam hal ini, perubahan energi internal sama dengan jumlah panas yang ditambahkan ke sistem ditambah jumlah pekerjaan yang dilakukan pada sistem. Untuk sistem aliran, kita juga harus memperhitungkan panas yang ditambahkan ke sistem (oleh gerakan molekul dan gerakan fluida massal) serta pekerjaan yang dilakukan pada sistem oleh gerakan molekul. Oleh karena itu, penting untuk mengembangkan ekspresi untuk laju pekerjaan yang dilakukan oleh gerakan molekul.

Pertama, kita ingat bahwa, ketika gaya F bekerja pada suatu benda dan menyebabkan benda tersebut bergerak melalui jarak dr, pekerjaan yang dilakukan adalah dW = (F. dr). Lalu, laju pekerjaan yang dilakukan adalah dW/dt = (F. dr/dt) = (F.V)— yaitu, produk titik dari gaya dikali kecepatan. Sekarang kita terapkan formula ini pada tiga bidang tegak lurus di titik P dalam ruang yang ditunjukkan pada Gambar 9.8-1.

Pertama, kita pertimbangkan elemen permukaan yang tegak lurus terhadap sumbu x. Fluida di sisi negatif permukaan memberikan gaya πxdS pada fluida yang ada di sisi positif (lihat Tabel 1.2-1).

Gambar 9.8-1. Tiga elemen permukaan saling tegak lurus dengan area dS di titik P beserta vektor tegangan  yang bekerja pada permukaan ini. Pada gambar pertama, laju pekerjaan yang dilakukan oleh fluida di sisi negatif dS terhadap fluida di sisi positif dS adalah  Ekspresi serupa berlaku untuk elemen permukaan yang tegak lurus terhadap sumbu koordinat lainnya.

Karena fluida bergerak dengan kecepatan v, laju pekerjaan yang dilakukan oleh fluida di sisi negatif pada fluida di sisi positif adalah (πx . v)dS. Ekspresi serupa dapat dituliskan untuk pekerjaan yang dilakukan melintasi dua elemen permukaan lainnya. Dalam bentuk komponen, ekspresi laju pekerjaan per unit area menjadi:

Ketika komponen skalar ini dikalikan dengan vektor satuan dan dijumlahkan, kita mendapatkan “vektor laju pekerjaan per unit area,” yang sering disebut sebagai fluks pekerjaan.

Selain itu, laju pekerjaan yang dilakukan melintasi unit area permukaan dengan orientasi yang diberikan oleh vektor satuan n adalah ( n . [π . v]). Persamaan 9.8-1 hingga 9.8-4 dapat dengan mudah dituliskan dalam koordinat silinder dengan mengganti x, y, z dengan r, θ, z dan dalam koordinat bola dengan mengganti x, y, z dengan r, θ, φ. Sekarang kita mendefinisikan, untuk penggunaan selanjutnya, vektor fluks energi gabungan e sebagai berikut:

Vektor e adalah jumlah dari (a) fluks energi konvektif, (b) laju pekerjaan (per unit area) oleh mekanisme molekuler, dan (c) laju transportasi panas (per unit area) oleh mekanisme molekuler. Semua istilah dalam Persamaan 9.8-5 memiliki konvensi tanda yang sama, sehingga e_x adalah transport energi ke arah positif x per unit area per unit waktu.