PENGGUNAAN NERACA MAKROSKOPIS UNTUK MASALAH STEADY-STATE
USE OF THE MACROSCOPIC BALANCES FOR STEADY-STATE PROBLEMS
Pada 3.6, kita telah melihat cara menyusun persamaan diferensial untuk menghitung profil kecepatan dan tekanan dalam sistem aliran isothermal dengan menyederhanakan persamaan perubahan. Dalam bagian ini, kita akan menunjukkan cara menggunakan neraca makroskopis steady-state untuk memperoleh persamaan aljabar yang menggambarkan sistem besar.
Untuk setiap masalah, kita mulai dengan empat neraca makroskopis. Dengan memperhatikan istilah yang dibuang atau diaproksimasi, kita secara otomatis memiliki daftar lengkap asumsi yang terkandung dalam hasil akhir. Semua contoh yang diberikan di sini adalah untuk aliran isothermal dan inkompresibel. Asumsi inkompresibilitas berarti bahwa kecepatan fluida harus kurang dari kecepatan suara dalam fluida dan perubahan tekanan harus cukup kecil sehingga perubahan densitas yang dihasilkan dapat diabaikan.
Neraca makroskopis steady-state dapat dengan mudah digeneralisasi untuk sistem dengan beberapa aliran masuk (disebut la, Ib, lc, …) dan beberapa aliran keluar (disebut 2a, 2b, 2c, …). Neraca ini dirangkum dalam Tabel 7.6-1 untuk aliran turbulen (di mana profil kecepatan dianggap rata).
Example 7.6-1: Kenaikan Tekanan dan Kerugian Friksi pada Pembesaran Mendadak
Sebuah fluida yang tidak dapat dimampatkan mengalir dari tabung berbentuk bulat kecil ke tabung besar dalam aliran turbulen, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 7.6-1. Luas penampang tabung adalah S_1 dan S_2. Dapatkan ekspresi untuk perubahan tekanan antara bidang 1 dan 2 serta kerugian friksi yang terkait dengan pembesaran mendadak dalam penampang. Misalkan β = S_1/S_2, yang kurang dari satu.
SOLUTION
(a) Neraca massa. Untuk aliran stasioner, neraca massa memberikan:
Untuk fluida dengan densitas konstan, ini memberikan:
(b) Neraca momentum. Komponen momentum ke bawah adalah:
Gaya F_f→s terdiri dari dua bagian: gaya viskos pada permukaan silindris yang sejajar dengan arah aliran, dan gaya tekanan pada permukaan berbentuk washer di sebelah kanan plane 1 yang tegak lurus terhadap sumbu aliran. Kami mengabaikan kontribusi yang pertama (secara intuisi) dan menganggap yang terakhir sebagai p_1 (S_2 – S_1), dengan asumsi bahwa tekanan pada permukaan washer adalah sama dengan tekanan di plane 1. Dengan menggunakan Persamaan 7.6-1, kita memperoleh:
Menyelesaikan untuk perbedaan tekanan memberikan:
atau, dalam hal kecepatan aliran di hilir,
Catatan bahwa neraca momentum memprediksi (dengan benar) kenaikan tekanan.
(c) Neraca momentum sudut. Neraca ini tidak diperlukan. Jika kita mengambil titik asal koordinat pada sumbu sistem di pusat massa fluida antara
plane 1 dan 2, maka [r1 x u1] dan [r2 x u2] keduanya nol, dan tidak ada torsi pada sistem fluida.
(d) Neraca energi mekanik. Tidak ada kehilangan kompresi, tidak ada kerja yang dilakukan oleh bagian yang bergerak, dan tidak ada perubahan ketinggian, sehingga
yang merupakan entri dalam Tabel 7.5-1.
Contoh ini telah menunjukkan cara menggunakan neraca makroskopis untuk memperkirakan faktor kehilangan gesekan pada resistansi sederhana dalam sistem aliran. Karena asumsi yang disebutkan setelah Eq. 7.6-3, hasil dalam Eqs. 7.6-6 dan 8 bersifat perkiraan. Jika diperlukan akurasi tinggi, faktor koreksi berdasarkan data eksperimental harus diperkenalkan.