PENGGUNAAN NERACA MAKROSKOPIS UNTUK MASALAH UNSTEADY-STATE
USE OF THE MACROSCOPIC BALANCES FOR UNSTEADY-STATE PROBLEMS
Pada bagian sebelumnya, kita telah membahas penggunaan neraca makroskopis untuk menyelesaikan masalah steady-state. Pada bagian ini, kita akan membahas masalah unsteady-state. Kami akan memberikan dua contoh untuk mengilustrasikan penggunaan persamaan neraca makroskopis yang bergantung pada waktu.
Example 7.7-1: Efek Percepatan dalam Aliran Tidak Stabil dari Tangki Silinder
Sebuah silinder terbuka dengan tinggi H dan jari-jari R awalnya terisi penuh dengan cairan. Pada waktu t = 0, cairan diperbolehkan mengalir keluar melalui lubang kecil dengan jari-jari X di dasar tangki.
(a) Temukan waktu aliran keluar dengan menggunakan neraca massa unsteady-state dan dengan mengasumsikan persamaan Torricelli (lihat Masalah 3B.14) untuk menggambarkan hubungan antara kecepatan aliran keluar dan tinggi cairan saat ini.
(b) Temukan waktu aliran keluar menggunakan neraca massa dan energi mekanik unsteady-state.
SOLUTION
(a) Kami menerapkan Persamaan 7.1-2 pada sistem di Gambar 7.7-1, dengan mengambil pesawat 1 di bagian atas tangki (sehingga w_1 = 0). Jika tinggi cairan saat ini adalah h(t), maka
Di sini, kita telah mengasumsikan bahwa profil kecepatan di pesawat 2 adalah datar. Berdasarkan persamaan Torricelli 
sehingga Persamaan 7.7-1 menjadi
Ketika ini diintegrasikan dari t = 0 hingga t = t_efflux, kita mendapatkan
(b) Kita sekarang menggunakan Persamaan 7.7-1 dan neraca energi mekanik dalam Persamaan 7.4-2. Dalam hal ini, Wm dan Ec identik nol, dan kita anggap Ev sangat kecil, karena gradien kecepatan dalam sistem akan kecil. Kita mengambil bidang acuan untuk energi potensial di bagian bawah tangki, sehingga 
pada bidang 1 tidak ada cairan yang masuk, sehingga istilah energi potensial tidak diperlukan di sana. Karena bagian atas tangki terbuka ke atmosfer dan tangki mengalir ke atmosfer, kontribusi tekanan saling membatalkan.
Untuk mendapatkan total energi kinetik dalam sistem pada waktu t, kita harus mengetahui kecepatan setiap elemen fluida dalam tangki. Di setiap titik dalam tangki, kita anggap fluida bergerak ke bawah dengan kecepatan yang sama, yaitu (v2(R_0/R)² sehingga energi kinetik per unit volume di mana-mana adalah 
Untuk mendapatkan total energi potensial dalam sistem pada waktu t, kita harus mengintegrasikan energi potensial per unit volume ρgz sepanjang volume cairan dari 0 hingga h. Ini memberikan 
Oleh karena itu, neraca energi mekanik dalam Persamaan 7.4-2 menjadi:
Dari neraca massa tidak-stabil,
Ketika ini dimasukkan ke dalam Persamaan 7.7-4, kita memperoleh (setelah dibagi dengan dh/dt):
Ini harus diselesaikan dengan dua kondisi awal:
Persamaan diferensial orde kedua untuk h dapat diubah menjadi persamaan orde pertama untuk fungsi u(h) dengan membuat perubahan variabel (dh/dt)² = u. Ini menghasilkan:
Solusi untuk persamaan orde pertama ini dapat diverifikasi sebagai:
Kondisi awal kedua kemudian memberikan 
untuk konstanta integrasi; karena N >> 1, kita tidak perlu memperhatikan kasus khusus N = 2. Kita selanjutnya dapat mengambil akar kuadrat dari Persamaan 7.7-9 dan memperkenalkan tinggi cairan tanpa dimensi η = h/H ini memberikan:
Dalam hal ini, tanda minus harus dipilih berdasarkan alasan fisik. Persamaan orde pertama yang dapat dipisahkan ini dapat diintegrasikan dari t = 0 hingga t = t_efflux untuk memberikan:
Fungsi φ(N) menunjukkan deviasi dari solusi quasi-steady-state yang diperoleh pada Persamaan 7.7-3. Fungsi ini dapat dievaluasi sebagai berikut:
Integrasi sekarang dapat dilakukan. Ketika hasilnya diperluas dalam bentuk pangkat invers dari N, ditemukan bahwa:
Karena 
adalah angka yang sangat besar, jelas bahwa faktor φ(N) hanya sedikit berbeda dari satu.
Sekarang, jika kita kembali ke Eq. 7.7-4 dan mengabaikan istilah yang menggambarkan perubahan energi kinetik total seiring waktu, maka kita memperoleh persis ekspresi untuk waktu efflux dalam Eq. 7.7-3 (atau Eq. 7.7-11, dengan φ(N) = 1. Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa dalam jenis masalah ini, perubahan energi kinetik seiring waktu dapat diabaikan.