Penggunaan Neraca Makroskopis untuk Menyelesaikan Masalah Keadaan Tunak dengan Profil Kecepatan Datar
USE OF THE MACROSCOPIC BALANCES TO SOLVE STEADY-STATE PROBLEMS WITH FLAT VELOCITY PROFILES
Aplikasi yang paling penting dari neraca makroskopis adalah untuk masalah keadaan tunak. Selain itu, biasanya diasumsikan bahwa aliran adalah turbulen sehingga variasi kecepatan di seluruh penampang dapat diabaikan dengan aman (lihat “Catatan” setelah Persamaan 7.2-3 dan 7.4-7). Lima neraca makroskopis, dengan pembatasan tambahan ini, dirangkum dalam Tabel 15.3-1. Mereka telah digeneralisasi untuk beberapa port masuk dan keluar untuk mengakomodasi sekumpulan masalah yang lebih besar.
Example 15.3-1: Pendinginan Gas Ideal
Dua ratus pon per jam udara kering masuk ke dalam tabung dalam penukar panas yang ditunjukkan dalam Gambar 15.3-1 pada suhu 300°F dan 30 psia, dengan kecepatan 100 ft/detik. Udara keluar dari penukar pada suhu 0°F dan 15 psia, pada ketinggian 10 ft di atas pintu masuk penukar. Hitung laju penghilangan energi melalui dinding tabung. Anggap aliran turbulen dan perilaku gas ideal, dan gunakan ekspresi berikut untuk kapasitas panas udara:
di mana Cₚ adalah dalam Btu/(lb-mole · R) dan T dalam derajat R.
SOLUTION
Untuk sistem ini, neraca energi makroskopis, Persamaan 15.1-3, menjadi
Perbedaan entalpi dapat diperoleh dari Persamaan 9.8-8, dan kecepatan dapat diperoleh sebagai fungsi suhu dan tekanan dengan bantuan neraca massa makroskopis ρ₁v₁ = ρ₂v₂ dan hukum gas ideal ρ = pRT/M. Dengan demikian, Persamaan 15.3-2 menjadi
Ekspresi eksplisit untuk Cₚ dalam Persamaan 15.3-1 kemudian dapat dimasukkan ke dalam Persamaan 15.3-3 dan integrasi dilakukan. Selanjutnya, substitusi nilai numerik memberikan laju penghilangan panas per pon fluida yang melewati penukar panas:
Laju penghilangan panas kemudian adalah
Perhatikan, dalam Persamaan 15.3-4, bahwa kontribusi energi kinetik dan potensial dapat diabaikan dibandingkan dengan perubahan entalpi.
Example 15.3-2: Pencampuran Dua Aliran Gas Ideal
Dua aliran stabil, turbulen dari gas ideal yang sama mengalir dengan kecepatan, suhu, dan tekanan yang berbeda dicampurkan seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 15.3-2. Hitung kecepatan, suhu, dan tekanan dari aliran yang dihasilkan.
SOLUTION
Perilaku fluida dalam contoh ini lebih kompleks daripada situasi tidak terkompresi dan isotermal yang dibahas dalam Contoh 7.6-2, karena di sini perubahan densitas dan suhu mungkin penting. Kita perlu menggunakan neraca energi makroskopis keadaan tunak, Persamaan 15.2-3, dan persamaan keadaan gas ideal, selain dari neraca massa dan momentum. Dengan pengecualian ini, kita melanjutkan seperti dalam Contoh 7.6-2.
Kita memilih bidang masuk (la dan lb) sebagai penampang di mana fluida mulai bercampur. Bidang keluar (2) diambil cukup jauh di hilir sehingga pencampuran lengkap telah terjadi. Seperti dalam Contoh 7.6-2, kita mengasumsikan profil kecepatan datar, tegangan geser yang dapat diabaikan pada dinding pipa, dan tidak ada perubahan energi potensial. Selain itu, kita mengabaikan perubahan kapasitas panas fluida dan mengasumsikan operasi adiabatik. Kita sekarang menulis persamaan berikut untuk sistem ini dengan dua port masuk dan satu port keluar:
Dalam rangkaian persamaan ini, kita mengetahui semua kuantitas di la dan lb, dan empat yang tidak diketahui adalah p₂, T₂, p₂, dan v₂. Tref adalah suhu referensi untuk entalpi. Dengan mengalikan Persamaan 15.3-6 dengan kp₁, dan menambahkan hasilnya ke Persamaan 15.3-8, kita mendapatkan
Sisi kanan dari Persamaan 15.3-6, 15.3-7, dan 15.3-10 mengandung kuantitas yang diketahui dan kami menandainya dengan w, P, dan E, masing-masing. Perhatikan bahwa w, P, dan E tidak independen, karena tekanan, suhu, dan densitas dari setiap aliran masuk harus terkait oleh persamaan keadaan.
Sekarang kita menyelesaikan Persamaan 15.3-7 untuk v₂ dan mengeliminasi p₂ dengan menggunakan hukum gas ideal. Selain itu, kita menulis w₁ sebagai p₂v₂S₂. Ini memberikan
Persamaan ini dapat diselesaikan untuk T₂, yang kemudian dimasukkan ke dalam Persamaan 15.3-10 untuk memberikan
di mana y = Cₚ/Cᵥ, sebuah kuantitas yang bervariasi dari sekitar 1.1 hingga 1.667 untuk gas. Di sini kita telah menggunakan fakta bahwa G/R = y/(y – 1) untuk gas ideal. Ketika Persamaan 15.3-12 diselesaikan untuk v₂, kita mendapatkan
Secara fisik, radicand tidak dapat negatif. Dapat ditunjukkan (lihat Masalah 15B.4) bahwa, ketika radicand sama dengan nol, kecepatan aliran akhir adalah sonik. Oleh karena itu, secara umum, salah satu solusi untuk v₂ adalah supersonik dan satu lagi subsonik. Hanya solusi yang lebih rendah (subsonik) yang dapat diperoleh dalam proses pencampuran turbulen yang sedang dipertimbangkan, karena aliran duct supersonik tidak stabil. Transisi dari aliran duct supersonik ke subsonik diilustrasikan dalam Contoh 11.4-7.
Setelah kecepatan v₂ diketahui, tekanan dan suhu dapat dihitung dari Persamaan 15.3-7 dan 15.3-11. Neraca energi mekanis dapat digunakan untuk mendapatkan (E₁ + E₂).