PENGGUNAAN PERSAMAAN PERUBAHAN UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH STEADY-STATE
USE OF THE EQUATIONS OF CHANGE TO SOLVE STEADY-STATE PROBLEMS
Dalam 93.1 hingga 3.4 dan dalam 91 1.1 hingga 11.3, kita telah mengembangkan berbagai persamaan perubahan untuk fluida atau padatan murni. Tampaknya tepat di sini untuk menyajikan ringkasan persamaan ini untuk referensi di masa depan. Ringkasan tersebut diberikan dalam Tabel 11.4-1, dengan sebagian besar persamaan disajikan dalam bentuk d/dt dan bentuk D/Dt. Referensi juga diberikan kepada tempat pertama di mana setiap persamaan telah dipresentasikan.
Meskipun Tabel 11.4-1 adalah ringkasan yang berguna, untuk pemecahan masalah kita menggunakan persamaan yang ditulis secara eksplisit dalam beberapa sistem koordinat yang umum digunakan. Ini telah dilakukan dalam Lampiran B, dan pembaca harus benar-benar membiasakan diri dengan tabel-tabel di sana.
Secara umum, untuk menggambarkan aliran nonisothermal dari fluida Newtonian, seseorang perlu.
- Persamaan kontinuitas
- Persamaan gerak (mengandung
- Persamaan energi (mengandung
- Persamaan keadaan termal
- Persamaan keadaan kalorik
Sering kali seseorang mungkin puas dengan solusi terbatas, untuk melakukan analisis skala atau untuk menyelidiki kasus batas sebelum melakukan solusi numerik yang lengkap. Ini dilakukan dengan membuat beberapa asumsi standar:
(i) Asumsi sifat fisik konstan. Jika dapat diasumsikan bahwa semua sifat fisik adalah konstan, maka persamaan menjadi jauh lebih sederhana, dan dalam beberapa kasus solusi analitik dapat ditemukan.
(ii) Asumsi aliran nol. Menetapkan T dan q sama dengan nol mungkin berguna untuk (a) proses aliran adiabatik dalam sistem yang dirancang untuk meminimalkan efek gesekan (seperti meter Venturi dan turbin), dan (b) aliran berkecepatan tinggi di sekitar objek yang aerodinamis. Solusi yang diperoleh tidak akan berguna untuk menggambarkan situasi dekat batas fluida-padatan, tetapi mungkin memadai untuk analisis fenomena jauh dari batas padatan.
Untuk mengilustrasikan penyelesaian masalah di mana persamaan energi memainkan peran signifikan, kita menyelesaikan serangkaian masalah (ideal) ini. Kita membatasi diri pada masalah aliran steady-state di sini dan mempertimbangkan masalah unsteady-state di Bab 12. Dalam setiap masalah, kita mulai dengan mencantumkan postulat yang membawa kita pada versi yang disederhanakan dari persamaan perubahan.
Example 11.4-1: Transfer Panas Konveksi Paksa Steady-State dalam Aliran Laminar pada Pipa Silindris
Tunjukkan bagaimana cara menyiapkan persamaan untuk masalah yang dipertimbangkan dalam 10.8—yaitu, mencari profil suhu fluida untuk aliran laminar yang sepenuhnya berkembang dalam sebuah pipa.
SOLUTION
Kita mengasumsikan sifat fisik konstan, dan kita mengajukan solusi dalam bentuk berikut:
Maka persamaan perubahan, seperti yang diberikan dalam Lampiran B, dapat disederhanakan menjadi.
Persamaan kontinuitas secara otomatis terpenuhi sebagai hasil dari postulat. Persamaan gerak, ketika diselesaikan seperti dalam Contoh 3.6-1, memberikan distribusi kecepatan (profil kecepatan parabolik). Ekspresi ini kemudian disubstitusikan ke dalam suku transportasi panas konvektif di sisi kiri Eq. 11.4-3 dan ke dalam suku pemanasan akibat disipasi viskos di sisi kanan. Selanjutnya, seperti dalam 10.8, kita membuat dua asumsi: (i) dalam arah z, konduksi panas jauh lebih kecil daripada konveksi panas, sehingga suku d²T/dz² dapat diabaikan, dan (ii) aliran tidak cukup cepat sehingga pemanasan viskos menjadi signifikan, dan oleh karena itu suku p(dv₁/dr)² dapat dihilangkan. Ketika asumsi ini dibuat, Eq. 11.4-3 menjadi sama dengan Eq. 10.8-12. Dari titik itu, solusi asimptotik, yang berlaku hanya untuk z besar, dilanjutkan seperti dalam s10.8.
Perlu dicatat bahwa kita telah melalui tiga jenis proses pembatasan: (i) postulat, di mana tebakan sementara dibuat mengenai bentuk solusi; (ii) asumsi, di mana kita menghilangkan beberapa fenomena atau efek fisik dengan membuang suku atau mengasumsikan sifat fisik menjadi konstan; dan (iii) solusi asimptotik, di mana kita hanya memperoleh sebagian dari keseluruhan solusi matematis. Penting untuk membedakan antara berbagai jenis pembatasan ini.
Example 11.4-2: Aliran Tangensial dalam Annulus dengan Generasi Panas Viskos
Tentukan distribusi suhu dalam cairan tak terkompresi yang terperangkap di antara dua silinder koaksial, di mana silinder luar berputar dengan kecepatan sudut konstan Ω (lihat 10.4 dan Contoh 3.6-3). Gunakan nomenklatur dari Contoh 3.6-3, dan anggap rasio jari-jari K cukup kecil sehingga kelengkungan aliran fluida harus diperhitungkan. Suhu pada permukaan dalam dan luar dari daerah annular dipertahankan pada T₁ dan T₂, masing-masing, dengan T₁ ≠ T₂.
Asumsikan aliran laminar steady dan abaikan ketergantungan suhu dari sifat fisik. Ini adalah contoh masalah konveksi paksa: Persamaan kontinuitas dan gerak diselesaikan untuk mendapatkan distribusi kecepatan, dan kemudian persamaan energi diselesaikan untuk mendapatkan distribusi suhu. Masalah ini menarik berkaitan dengan efek panas dalam viskometer silinder koaksial dan dalam sistem pelumasan.
SOLUTION
Kita mulai dengan mengasumsikan bahwa v = Z₁ v₁(r), bahwa ϕ = ϕ(r, z), dan bahwa T = T(r). Kemudian, penyederhanaan persamaan perubahan mengarah pada Eqs. 3.6-20, 21, dan 22 (suku komponen r, θ, dan z dari persamaan gerak), dan persamaan energi.
Ketika solusi untuk komponen θ dari persamaan gerak, yang diberikan dalam Eq. 3.6-29, disubstitusikan ke dalam persamaan energi, kita mendapatkan.
Ini adalah persamaan diferensial untuk distribusi suhu. Persamaan ini dapat ditulis ulang dalam bentuk kuantitas tanpa dimensi dengan mengganti.
Parameter N sangat terkait dengan angka Brinkman dari 910.4. Persamaan 11.4-5 sekarang menjadi.
Ini memiliki bentuk Eq. C.1-11 dan memiliki solusi.
Konstanta integrasi ditemukan dari kondisi batas.
Penentuan konstanta kemudian menghasilkan.
Ketika N = 0, kita memperoleh distribusi suhu untuk selubung silindris yang tidak bergerak dengan ketebalan R(1 – K) dengan suhu dalam dan luar T₁ dan T₂. Jika N cukup besar, akan ada maksimum dalam distribusi suhu, yang terletak di.
dengan suhu pada titik ini lebih tinggi daripada baik T₁ maupun T₂.
Meskipun contoh ini memberikan ilustrasi penggunaan persamaan perubahan yang terdaftar dalam koordinat silindris, dalam sebagian besar aplikasi viskometrik dan pelumasan, celah antara silinder sangat kecil sehingga nilai numerik yang dihitung dari Eq. 11.4-13 tidak akan berbeda secara substansial dari yang dihitung dari Eq. 10.4-9.