PENINGKATAN TRANSFER MASSA OLEH REAKSI ORDE PERTAMA DALAM ALIRAN TURBULEN
ENHANCEMENT OF MASS TRANSFER BY A FIRST-ORDER REACTION IN TURBULENT FLOW
Kami sekarang akan memeriksa efek suku reaksi kimia dalam persamaan difusi turbulen. Secara khusus, kami mempelajari efek reaksi terhadap laju transfer massa di dinding untuk aliran turbulen yang didorong secara stabil dalam sebuah tabung, di mana dinding (dari material A) sedikit larut dalam fluida (liquid B) yang mengalir melalui tabung. Material A larut dalam liquid B dan kemudian menghilang melalui reaksi orde pertama. Kami akan sangat tertarik pada perilaku dengan angka Schmidt yang tinggi dan laju reaksi yang cepat.
Untuk aliran tabung dengan simetri aksial dan dengan C_A yang tidak bergantung pada waktu, Persamaan 21.2-8 menjadi:
Di sini, kami telah membuat asumsi biasa bahwa transportasi aksial oleh difusi molekuler dan turbulen dapat diabaikan. Kami ingin mencari laju transfer massa di dinding.
di mana 
adalah konsentrasi A di dinding dan di sumbu tabung. Seperti yang telah disebutkan dalam bagian sebelumnya, difusivitas turbulen adalah nol di dinding, dan karena itu tidak muncul dalam Persamaan 21.4-2. Kuantitas k_c adalah koefisien transfer massa, yang setara dengan koefisien transfer panas h. Koefisien h dibahas dalam Bab 14 dan disebutkan dalam Bab 9 sehubungan dengan “hukum pendinginan Newton.” Sebagai perkiraan pertama, kami mengambil 
menjadi nol, dengan asumsi bahwa reaksi cukup cepat sehingga spesies yang berdifusi tidak pernah mencapai sumbu tabung; maka 
juga harus nol di sumbu tabung. Setelah menganalisis sistem di bawah asumsi ini, kami akan melonggarkan asumsi tersebut dan memberikan perhitungan untuk rentang laju reaksi yang lebih luas.
Kami sekarang mendefinisikan konsentrasi reaktan tak berdimensi 
Maka di bawah asumsi lebih lanjut bahwa, untuk nilai z yang besar, konsentrasi akan independen terhadap z, Persamaan 21.4-1 menjadi:
Persamaan ini sekarang dapat dikalikan dengan r dan diintegrasikan dari posisi sembarang ke dinding tabung untuk memberikan:
Di sini, kondisi batas pada r = 0 telah digunakan, serta definisi koefisien transfer massa. Kemudian, integrasi kedua dari r = 0 ke r = R memberikan:
Di sini, kami telah menggunakan kondisi batas C = 0 pada r = 0 dan C = 1 pada r = R.
Selanjutnya, kami memperkenalkan variabel y = R – r, karena daerah yang menjadi perhatian berada tepat di samping dinding. Maka kita mendapatkan:
di mana C(y) bukanlah fungsi yang sama dari r seperti halnya C(r) dari r. Untuk angka Schmidt yang besar, integran hanya penting di daerah di mana y << R, sehingga R – y dapat dengan aman diperkirakan sebagai R. Selain itu, kita dapat menggunakan fakta bahwa difusivitas turbulen di sekitar
dinding adalah sebanding dengan pangkat tiga jarak dari dinding. Ketika integral ditulis ulang dalam istilah 
, kita mendapatkan persamaan tak berdimensi:
Persamaan ini mengandung beberapa pengelompokan tak berdimensi: angka 
parameter laju reaksi tak berdimensi 
dan koefisien transfer massa tak berdimensi 
yang dikenal sebagai angka Sherwood (D adalah diameter tabung).
Dalam batasan bahwa 
solusi untuk Persamaan 21.4-3 di bawah kondisi batas yang diberikan adalah 
. Substitusi solusi ini ke dalam Persamaan 21.4-7 kemudian memberikan setelah integrasi yang sederhana:
Ini dapat diselesaikan untuk memberikan Sh sebagai fungsi dari Sc, R_x, dan K. Solusi sebelumnya untuk Persamaan 21.4-3 adalah wajar ketika Sc, R_x, dan z cukup besar, dan merupakan perbaikan atas hasil yang diberikan oleh Vieth, Porter, dan Sherwood. Namun, dalam ketidakhadiran reaksi kimia, Persamaan 21.4-3 gagal menggambarkan peningkatan C di hilir yang disebabkan oleh transfer spesies A ke dalam fluida. Dengan demikian, peningkatan transfer massa oleh reaksi kimia tidak dapat dinilai secara realistis dari hasil Referensi 1 atau Referensi 2.
Untuk analisis yang lebih baik mengenai masalah peningkatan, kita menggunakan Persamaan 21.4-1 untuk mendapatkan persamaan diferensial yang lebih lengkap untuk C:
Asumsi bahwa C = 0 pada r = 0 kemudian diganti dengan kondisi fluks nol 
di sana. Kami merepresentasikan 
dalam geometri ini sebagai 
untuk aliran yang sepenuhnya berkembang, dengan menggunakan panjang pencampuran yang bergantung pada posisi l seperti dalam Persamaan 21.3-3.
Memperkenalkan notasi tak berdimensi 
berdasarkan kecepatan gesek 
, kita kemudian dapat mengekspresikan Persamaan 21.4-11 dalam bentuk tak berdimensi:
di mana angka Damkohler 
telah diperkenalkan. Model yang sangat baik untuk panjang pencampuran l tersedia dalam Persamaan 5.4-7, yang dikembangkan oleh Hanna, Sandall, dan Mazet dengan memodifikasi model yang diberikan oleh van Driesen. Model ini akan memberikan profil konsentrasi yang halus, asalkan kita menggunakan fungsi kecepatan dengan turunan radial kontinu, daripada ekspresi kontinu sepotong yang diberikan dalam Gambar 5.5-3. Fungsi semacam itu dapat diperoleh dengan mengintegrasikan persamaan diferensial:
dalam variabel tak berdimensi 
dari Gambar 5.5-3, dengan kondisi batas 
Persamaan 21.4-13 diperoleh (lihat Masalah 21B.5) dengan menggabungkan versi koordinat silinder dari Persamaan 5.5-3 dan 5.4-4 dengan bentuk tak berdimensi:
dari model panjang pencampuran yang ditunjukkan dalam Persamaan 5.4-7. Persamaan 21.4-13 dapat diselesaikan melalui rumus kuadrat untuk memberikan:
dan v^+ kemudian dapat dihitung dengan kuadratur menggunakan, misalnya, subrutin trapzd dan qtrap dari Press et al. Fungsi v^+ yang dihasilkan sangat mirip dengan garis yang digambar di Gambar 5.5-3, dengan perubahan kecil di dekat y^+ = 30 di mana garis yang digambar memiliki diskontinuitas kemiringan, dan di dekat garis tengah di mana fungsi v^+ yang dihitung mencapai nilai maksimum yang bergantung pada jari-jari dinding tak berdimensi R^+, sementara garis di Gambar 5.5-3 tidak memperlihatkan hal tersebut.
Persamaan 21.4-12 hingga 15 diselesaikan secara numerik untuk aliran yang sepenuhnya berkembang dari fluida dengan viskositas kinematik v = 0.6581 cm^2/s dalam tabung halus dengan diameter dalam 3 cm, pada Re = 10,000, Sc = 200, dan berbagai angka Damkohler Da. Perhitungan ini dilakukan dengan paket perangkat lunak Athena Visual Workbench. Angka Sherwood 
berdasarkan k_c seperti yang didefinisikan dalam Persamaan 21.4-2, digambarkan dalam Gambar 21.4-1 sebagai:
fungsi dari z^+ untuk berbagai nilai angka Damkohler Da. Hasil ini mengarah pada kesimpulan berikut:
Tanpa reaksi (yaitu, ketika Da = 0), angka Sherwood cepat menurun dengan meningkatnya jarak ke dalam daerah transfer massa. Perilaku ini konsisten dengan hasil Sleicher dan Ribus untuk masalah transfer panas yang sepadan, dan mengonfirmasi bahwa istilah konveksi dalam Persamaan 21.4-11 sangat penting untuk sistem ini. Istilah ini diabaikan dalam Referensi 2 dan 3 dengan menganggap profil konsentrasi sebagai “sepenuhnya berkembang.”
Dengan adanya reaksi homogen pseudo-pertama dari zat terlarut (yaitu, ketika Da > 0), angka Sherwood menurun ke hilir dengan kurang cepat, dan akhirnya mencapai asimtot konstan yang bergantung pada angka Damkohler. Dengan demikian, faktor peningkatan, yang didefinisikan sebagai Sh (dengan reaksi) / Sh (tanpa reaksi), dapat meningkat secara signifikan dengan meningkatnya jarak ke dalam daerah transfer massa.