PENURUNAN NERACA ENERGI MEKANIK MAKROSKOPIS

DERIVATION OF THE MACROSCOPIC MECHANICAL ENERGY BALANCE'

Pada Persamaan 7.4-2, neraca energi mekanik makroskopis disajikan tanpa pembuktian. Pada bagian ini, kita akan menunjukkan bagaimana persamaan tersebut diperoleh dengan mengintegrasikan persamaan perubahan energi mekanik (Persamaan 3.3-2) di seluruh volume sistem aliran pada Gambar 7.0-1. Kita mulai dengan melakukan integrasi formal:Selanjutnya kita menerapkan rumus Leibniz 3-dimensi (Pers. A.5-5) pada sisi kiri dan teorema divergensi Gauss (Pers. A.5-2) pada suku 1, 2, dan 3 di sisi kanan.

Istilah yang mengandung v_s, yaitu kecepatan permukaan sistem, muncul dari penerapan rumus Leibniz. Permukaan S(t) terdiri dari empat bagian:

Permukaan tetap S_f (di mana v dan v_s keduanya nol),
Permukaan bergerak S_m (di mana v = v_s dengan keduanya tidak nol),
Penampang pada port masuk S_1 (di mana v_s = 0),
Penampang pada port keluar S_2 (di mana v_s = 0).

Selanjutnya, setiap integral permukaan akan dipecah menjadi empat bagian sesuai dengan keempat permukaan ini. Sekarang, kita menginterpretasikan istilah-istilah dalam Pers. 7.8-2 dan dalam prosesnya memperkenalkan beberapa asumsi; asumsi ini telah disebutkan sebelumnya, tetapi kini alasannya akan dijelaskan lebih jelas.

Istilah di sisi kiri dapat diartikan sebagai laju perubahan total energi kinetik dan potensial dalam “volume kontrol,” yang bentuk dan volumenya berubah seiring waktu.

Selanjutnya, kita memeriksa satu per satu lima istilah di sisi kanan:

Istilah I (termasuk tanda minus) hanya berkontribusi di port masuk dan keluar serta memberikan laju aliran masuk dan keluar energi kinetik dan potensial.Tanda kurung sudut menunjukkan rata-rata di sepanjang penampang. Untuk mendapatkan hasil ini, kita harus mengasumsikan bahwa densitas fluida dan energi potensial per unit massa konstan di sepanjang penampang, dan bahwa fluida mengalir sejajar dengan dinding tabung di port masuk dan keluar. Istilah pertama dalam Eq. 7.8-3 adalah positif, karena di bidang 1, (-n . v) = (u1. (u1v1)) = v1, dan istilah kedua adalah negatif, karena di bidang 2, (-n – v) = (-u2. (u2v2)) = -v2.

Istilah 2 (termasuk tanda minus) tidak memberikan kontribusi pada S_f karena v nol di sana. Pada setiap elemen permukaan dS dari S_m, terdapat gaya -npdS yang bekerja pada permukaan yang bergerak dengan kecepatan v_s, dan hasil kali titik dari kuantitas ini memberikan laju di mana lingkungan melakukan kerja pada fluida melalui elemen permukaan dS. Kami menggunakan simbol W_m'(p) untuk menunjukkan jumlah dari semua istilah permukaan ini. Selain itu, integral di permukaan tetap S_1 dan S_2 memberikan kerja yang dibutuhkan untuk mendorong fluida ke dalam sistem di bidang 1 dikurangi kerja yang diperlukan untuk mendorong fluida keluar dari sistem di bidang 2. Oleh karena itu, istilah 2 akhirnya memberikan

Di sini kita mengasumsikan bahwa tekanan tidak bervariasi di seluruh penampang pada port masuk dan keluar.

Istilah 3 (termasuk tanda minus) tidak memberikan kontribusi pada S_f karena v nol di sana. Integral di atas S_m dapat diartikan sebagai laju di mana lingkungan melakukan kerja pada fluida melalui gaya gesekan, dan integral ini ditunjuk sebagai W_m'(t). Pada port masuk dan keluar, umumnya diabaikan istilah kerja yang terkait dengan gaya gesekan, karena biasanya jauh lebih kecil dibandingkan dengan kontribusi tekanan. Oleh karena itu, kita memperoleh

Sekarang kita memperkenalkan simbol untuk mewakili laju total di mana lingkungan melakukan kerja pada fluida di dalam sistem melalui permukaan yang bergerak.

Istilah 4 dan 5 tidak dapat disederhanakan lebih lanjut, sehingga kita mendefinisikanUntuk fluida Newtonian, kerugian viskositas E_v adalah laju di mana energi mekanik diubah secara irreversibel menjadi energi termal karena kekentalan fluida dan selalu merupakan kuantitas positif. Metode untuk memperkirakan E_v telah dibahas dalam Bab 7.5. (Untuk fluida viskoelastik, yang dibahas dalam Bab 8, E_v harus diartikan secara berbeda dan bahkan bisa menjadi negatif.)

Istilah kompresi E_c) adalah laju di mana energi mekanik diubah secara reversibel menjadi energi termal karena kompresibilitas fluida; ini bisa positif atau negatif. Jika fluida dianggap tidak kompresibel, maka E_c adalah nol.

Ketika semua kontribusi dimasukkan ke dalam Persamaan 7.8-2, akhirnya kita memperoleh neraca energi mekanik makroskopis:Jika kita memperkenalkan simbol untuk laju aliran massa masuk dan keluar, maka Persamaan 7.8-8 dapat ditulis ulang dalam bentuk Persamaan 7.4-2. Beberapa asumsi telah dibuat dalam pengembangan ini, tetapi biasanya asumsi tersebut tidak serius. Jika situasinya memerlukan, kita bisa kembali dan memasukkan efek yang diabaikan.

Perlu dicatat bahwa derivasi neraca energi mekanik di atas tidak memerlukan bahwa sistem harus isothermal. Oleh karena itu, hasil dalam Persamaan 7.4-2 dan 7.8-8 berlaku untuk sistem nonisothermal.

Untuk mendapatkan neraca energi mekanik dalam bentuk Persamaan 7.4-7, kita harus mengembangkan ekspresi perkiraan untuk E_c. Kita membayangkan adanya garis alir representatif yang melintasi sistem, dan kita memperkenalkan koordinat s sepanjang garis alir tersebut. Kita mengasumsikan bahwa tekanan, densitas, dan kecepatan tidak bervariasi di seluruh penampang. Kita selanjutnya membayangkan bahwa di setiap posisi sepanjang garis alir, terdapat penampang S(s) yang tegak lurus terhadap koordinat s, sehingga kita bisa menulis dV = S(s)ds. Jika ada bagian yang bergerak dalam sistem dan jika geometri sistemnya kompleks, mungkin tidak memungkinkan untuk melakukan ini.

Kita mulai dengan menggunakan fakta bahwa [∇.ρv = 0] pada kondisi steady state sehinggaKemudian kita menggunakan asumsi bahwa tekanan dan densitas adalah konstan di seluruh penampang untuk menulis kira-kiraMeskipun p, u, dan S adalah fungsi dari koordinat aliran s, hasil perkalian mereka, w = pvS, adalah konstan untuk operasi keadaan mantap dan oleh karena itu dapat dikeluarkan dari integral. Ini menghasilkan:Kemudian, integrasi dengan metode bagian dapat dilakukanKetika hasil ini dimasukkan ke dalam Eq. 7.4-5, didapatkan hubungan mendekati dalam Eq. 7.4-7. Karena asumsi yang dibuat (keberadaan streamline representatif dan kekonstanan p serta ρ di seluruh penampang) bisa dipertanyakan, lebih baik menggunakan Eq. 7.4-5 daripada Eq. 7.4-7. Selain itu, Eq. 7.4-5 dapat dengan mudah digeneralisasi untuk sistem dengan beberapa port masuk dan keluar, sedangkan Eq. 7.4-7 tidak; generalisasi ini diberikan dalam Eq. (D) pada Tabel 7.6-1.