PERSAMAAN ENERGI
THE ENERGY EQUATION
Persamaan perubahan untuk energi diperoleh dengan menerapkan hukum konservasi energi pada elemen volume kecil Δx Δy Δz (lihat Gambar 3.1-1) dan kemudian membiarkan dimensi elemen volume menjadi sangat kecil. Hukum konservasi energi adalah perluasan dari hukum pertama termodinamika klasik, yang berkaitan dengan perbedaan energi dalam dua keadaan kesetimbangan sistem tertutup akibat panas yang ditambahkan ke sistem dan kerja yang dilakukan pada sistem (yaitu, ΔU = Q + W).
Di sini, kita tertarik pada elemen volume yang stasioner, tetap di tempat, melalui mana fluida mengalir. Energi kinetik dan energi dalam dapat masuk dan keluar dari sistem melalui transportasi konvektif. Panas dapat masuk dan keluar dari sistem melalui konduksi panas juga. Seperti yang kita lihat di Bab 9, konduksi panas pada dasarnya adalah proses molekuler. Kerja dapat dilakukan pada fluida yang bergerak oleh tegangan, dan ini juga merupakan proses molekuler. Istilah ini mencakup kerja yang dilakukan oleh gaya tekanan dan oleh gaya viskos. Selain itu, kerja dapat dilakukan pada sistem oleh karena gaya eksternal, seperti gravitasi.
Kami dapat merangkum paragraf sebelumnya dengan menuliskan konservasi energi dalam kata-kata sebagai berikut:
Dalam mengembangkan persamaan energi, kita akan menggunakan vektor e dari Persamaan 9.8-5 atau 6, yang mencakup tiga kurung pertama di sisi kanan Persamaan 11.1-1. Beberapa komentar perlu dibuat sebelum melanjutkan:
(i) Energi kinetik yang dimaksud adalah energi yang terkait dengan gerakan yang dapat diamati dari fluida, yaitu ipv² = gp(v . v), per satuan volume, di mana v adalah vektor kecepatan fluida.
(ii) Energi internal mencakup energi kinetik dari molekul penyusun yang dihitung dalam kerangka yang bergerak dengan kecepatan v, ditambah energi yang terkait dengan gerakan getaran dan rotasi molekul serta energi interaksi antar molekul. Diasumsikan bahwa energi internal U untuk fluida yang mengalir adalah fungsi yang sama dari suhu dan densitas seperti untuk fluida dalam keseimbangan.
(iii) Energi potensial tidak muncul dalam Persamaan 11.1-1, karena lebih baik mempertimbangkan kerja yang dilakukan pada sistem oleh gravitasi. Namun, di akhir bagian ini, akan ditunjukkan cara mengungkapkan kerja ini dalam istilah energi potensial.
(iv) Dalam Persamaan 10.1-1, berbagai sumber istilah dimasukkan dalam neraca energi shell. Dalam 10.4, sumber panas viskos S muncul secara otomatis, karena istilah energi mekanik dalam e diperhitungkan dengan benar; situasi yang sama berlaku di sini, dan istilah pemanasan viskos –(T:VV) akan muncul otomatis dalam Persamaan 11.2-1. Sumber istilah kimia, listrik, dan nuklir (Sc, Se, dan Sn tidak muncul secara otomatis, karena reaksi kimia, efek listrik, dan disintegrasi nuklir belum dimasukkan dalam neraca energi. Dalam Bab 19, di mana persamaan energi untuk campuran dengan reaksi kimia dibahas, sumber panas kimia Sc muncul secara alami, begitu pula istilah sumber difusi Σa ja . ga.
Kita sekarang menerjemahkan Persamaan 11.1-1 ke dalam istilah matematis. Laju peningkatan energi kinetik dan energi internal dalam elemen volume Δx Δy Δz adalah
Di sini Û adalah energi dalam per unit massa (kadang disebut “energi dalam spesifik”). Produk pU adalah energi dalam per unit volume, dan v² = (1/2)p(vz² + vi² + vj²) adalah energi kinetik per unit volume.
Selanjutnya, kita perlu mengetahui berapa banyak energi yang masuk dan keluar melalui wajah-wajah elemen volume Δx Δy Δz.
Ingat bahwa vektor e mencakup transport konvektif energi kinetik dan energi dalam, konduksi panas, serta kerja yang terkait dengan proses molekuler.
Laju kerja yang dilakukan pada fluida oleh gaya eksternal adalah hasil kali dot antara kecepatan fluida v dan gaya yang bekerja pada fluida (p Δx Δy Δz)g, atau:
Kita sekarang masukkan berbagai kontribusi ini ke dalam Persamaan 11.1-1 dan kemudian bagi dengan Δx Δy Δz. Ketika Δx, Δy, dan Δz dibiarkan menuju nol, kita mendapatkan:
Persamaan ini dapat dituliskan dengan lebih ringkas dalam notasi vektor sebagai:
Selanjutnya, kita masukkan ekspresi untuk vektor e dari Persamaan 9.8-5 untuk mendapatkan persamaan energi:
Persamaan ini tidak mencakup bentuk energi nuklir, radiasi, elektromagnetik, atau kimia. Untuk fluida viskoelastik, istilah sebelum terakhir harus ditafsirkan ulang dengan mengganti “viskos” dengan “viskoelastik.”
Persamaan 11.1-7 adalah hasil utama dari bagian ini, dan menyediakan dasar untuk sisa bab. Persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk lain untuk mencakup energi potensial per unit massa, φ, yang telah didefinisikan sebelumnya oleh g = -∇φ. Untuk perubahan elevasi yang moderat, ini memberikan φ = gh, di mana h adalah koordinator yang berlawanan dengan medan gravitasi. Untuk masalah terestrial, di mana medan gravitasi tidak tergantung pada waktu, kita dapat menulis:
Ketika hasil ini dimasukkan ke dalam Persamaan 11.1-7, kita mendapatkan:
Terkadang lebih mudah menggunakan persamaan energi dalam bentuk ini.