Persamaan Gerak
THE EQUATION OF MOTION
Untuk mendapatkan persamaan gerak, kita menulis keseimbangan momentum pada elemen volume Δx Δy Δz dalam Gambar 3.2-1 dalam bentuk:
Perhatikan bahwa Persamaan 3.2-1 adalah perluasan dari Persamaan 2.1-1 untuk masalah kondisi tidak tunak. Oleh karena itu, kita melanjutkan dengan cara yang sama seperti pada Bab 2. Namun, selain memasukkan istilah kondisi tidak tunak, kita harus mengizinkan fluida bergerak melalui semua enam sisi elemen volume. Ingat bahwa Persamaan 3.2-1 adalah persamaan vektor dengan komponen-komponen dalam masing-masing dari tiga arah koordinat x, y, dan z. Kita mengembangkan komponen x dari setiap istilah dalam Persamaan 3.2-1; komponen y dan z dapat diperlakukan secara analog.
Pertama, kita mempertimbangkan laju aliran komponen momentum x yang masuk dan keluar dari elemen volume yang ditunjukkan pada Gambar 3.2-1. Momentum masuk dan keluar dari Δx Δy Δz melalui dua mekanisme: transportasi konvektif (lihat §1.7) dan transportasi molekuler (lihat §1.2).
Laju di mana komponen momentum x masuk melalui wajah yang diarsir pada x oleh semua mekanisme—baik konvektif maupun molekuler—adalah Δy Δz, dan laju di mana ia keluar dari wajah yang diarsir pada x + Δx adalah Δy Δz. Laju di mana momentum x masuk dan keluar melalui wajah pada y dan y + Δy adalah Δz Δx dan Δz Δx, masing-masing. Demikian pula, laju di mana momentum x masuk dan keluar melalui wajah pada z dan z + Δz adalah Δx Δy dan Δx Δy. Ketika kontribusi ini dijumlahkan, kita mendapatkan laju bersih penambahan momentum x melalui ketiga pasangan wajah.
Selanjutnya, terdapat gaya eksternal (biasanya gaya gravitasi) yang bekerja pada fluida dalam elemen volume. Komponen x dari gaya ini adalah;
Persamaan 3.2-2 dan 3.2-3 memberikan komponen x dari ketiga istilah di sisi kanan Persamaan 3.2-1. Jumlah istilah-istilah ini harus disamakan dengan laju peningkatan momentum x dalam elemen volume; Δx Δy Δz ∂(ρvx)/∂t. Setelah ini dilakukan, kita mendapatkan komponen x dari keseimbangan momentum. Ketika persamaan ini dibagi dengan Δx Δy Δz dan batas diambil saat Δx, Δy, dan Δz mendekati nol, hasilnya adalah persamaan berikut:
Kita telah menggunakan definisi dari turunan parsial. Persamaan serupa dapat dikembangkan untuk komponen y dan z dari keseimbangan momentum:
Dengan menggunakan notasi vektor-tensor, ketiga persamaan ini dapat ditulis sebagai berikut:
Artinya, dengan membiarkan i secara bergantian menjadi x, y, dan z, Persamaan 3.2-4, 5, dan 6 dapat direproduksi. Kuantitas ρv adalah komponen Kartesius dari vektor ρv, yang merupakan momentum per unit volume pada titik dalam fluida. Demikian pula, kuantitas ρg adalah komponen dari vektor ρg, yang merupakan gaya eksternal per unit volume. Istilah −[∇⋅ adalah komponen ke-i dari vektor −[∇⋅
Pada Persamaan 1.7-1, ditunjukkan bahwa tensor fluks momentum gabungan φ adalah jumlah dari tensor fluks momentum konvektif ρvv dan tensor fluks momentum molekuler ττ, di mana yang terakhir dapat ditulis sebagai jumlah dari ρg dan τ. Ketika kita menyisipkan φ = ρvv + ρg + τ ke dalam Persamaan 3.2-8, kita mendapatkan persamaan gerak berikut;
Dalam persamaan ini, ∇ρ adalah vektor yang disebut sebagai ‘gradien dari (skalar) ρ,’ kadang-kadang ditulis sebagai ”grad ρ”. Simbol [∇.τ] adalah vektor yang disebut sebagai ”divergensi dari (tensor) τ” dan [∇.ρvv] adalah vektor yang disebut sebagai ”divergensi dari (produk diadik) ρvv“
Pada dua bagian berikutnya, kami memberikan beberapa hasil formal yang didasarkan pada persamaan gerak. Persamaan perubahan untuk energi mekanik dan momentum sudut tidak digunakan untuk penyelesaian masalah dalam bab ini, tetapi akan dirujuk di Bab 7. Pemula disarankan untuk membaca sekilas bagian-bagian ini pada bacaan pertama dan merujuk kembali jika diperlukan nanti.