Persamaan kontinuitas untuk campuran multikomponen

THE EQUATIONS OF CONTINUITY FOR A MULTICOMPONENT MIXTURE

Dalam bagian ini, kita menerapkan hukum kekekalan massa untuk setiap spesies a dalam suatu campuran, di mana a = 1, 2, 3, …, N. Sistem yang kita pertimbangkan adalah elemen volume Δx Δy Δz yang tetap di ruang, melalui mana campuran fluida mengalir (lihat Gambar 3.1-1). Di dalam campuran ini, reaksi di antara berbagai spesies kimia mungkin terjadi, dan kita menggunakan simbol rₐ untuk menunjukkan laju produksi spesies a, dengan dimensi massa/volume waktu. Berbagai kontribusi terhadap neraca massa adalah

Fluks massa gabungan nₐ mencakup fluks molekuler dan fluks konvektif. Ada juga istilah penambahan dan pengurangan dalam arah y dan z. Ketika seluruh neraca massa dituliskan dan dibagi dengan Δx Δy Δz, setelah membiarkan ukuran elemen volume mendekati nol, diperoleh

Ini adalah persamaan kontinuitas untuk spesies a dalam campuran multikomponen yang bereaksi. Persamaan ini menggambarkan perubahan konsentrasi massa spesies a terhadap waktu di suatu titik tetap dalam ruang melalui difusi dan konveksi a, serta melalui reaksi kimia yang menghasilkan atau mengonsumsi a. Kuantitas nₐₓ, nₐᵧ, dan nₐz adalah komponen Kartesius dari vektor fluks massa nₐ = ρₐvₐ yang diberikan dalam Eq. (D) dari Tabel 17.8-1. Persamaan 19.1-5 dapat ditulis ulang dalam notasi vektor sebagai

Sebagai alternatif, kita dapat menggunakan Eq. (S) dari Tabel 17.8-1 untuk menuliskan

Penjumlahan dari semua N persamaan dalam baik Eq. 19.1-6 atau Eq. 19.1-7 menghasilkan

yang merupakan persamaan kontinuitas untuk campuran. Persamaan ini identik dengan persamaan kontinuitas untuk fluida murni yang diberikan dalam Eq. 3.1-4. Dalam memperoleh Eq. 19.1-8, kita harus menggunakan Eq. (J) dari Tabel 17.8-1 dan juga fakta bahwa hukum kekekalan massa total memberikan ∑rₐ = 0. Akhirnya, kita mencatat bahwa Eq. 19.1-8 menjadi

untuk campuran fluida dengan densitas massa konstan ρ.

Dalam pembahasan sebelumnya, kita menggunakan satuan massa. Namun, derivasi yang sesuai juga mungkin dilakukan dalam satuan molar. Persamaan kontinuitas untuk spesies a dalam kuantitas molar adalah

di mana Rₐ adalah laju produksi molar spesies a per unit volume. Persamaan ini dapat ditulis ulang dengan menggunakan Eq. (V) dari Tabel 17.8-1 untuk memberikan

Ketika semua N persamaan dalam Eq. 19.1-10 atau Eq. 19.1-11 dijumlahkan, kita mendapatkan

untuk persamaan kontinuitas untuk campuran. Untuk mendapatkan ini, kita menggunakan Eq. (M) dari Tabel 17.8-1. Kami juga mencatat bahwa istilah reaksi kimia tidak hilang karena jumlah mol tidak selalu terjaga dalam reaksi kimia. Akhirnya, kami mencatat bahwa

untuk campuran fluida dengan densitas molar konstan c. Dengan demikian, kita telah melihat bahwa persamaan kontinuitas untuk spesies a dapat ditulis dalam dua bentuk, yaitu Eq. 19.1-7 dan Eq. 19.1-11. Dengan menggunakan hubungan kontinuitas dalam Eq. 19.1-8 dan Eq. 19.1-12, pembaca dapat memverifikasi bahwa persamaan kontinuitas untuk spesies a dapat dinyatakan dalam dua bentuk tambahan yang setara:

Kedua persamaan ini menyatakan konten fisik yang sama persis, tetapi ditulis dalam dua set notasi yang berbeda—yang pertama dalam kuantitas massa dan yang kedua dalam kuantitas molar. Untuk menggunakan persamaan ini, kita harus memasukkan ekspresi yang sesuai untuk fluks dan istilah reaksi kimia. Dalam bab ini, kami hanya memberikan hasil untuk sistem biner dengan ρ konstan, dengan kecepatan konstan atau nol.

Sistem Biner dengan Konstan

Untuk asumsi ini, Eq. 19.1-14 menjadi, setelah memasukkan hukum Fick dari Eq. (A) dalam Tabel 17.8-2

dengan persamaan yang sesuai untuk spesies B. Persamaan ini cocok untuk menggambarkan difusi dalam larutan cair encer pada suhu dan tekanan konstan. Sisi kiri dapat ditulis sebagai ρDₒₐ/Dt. Eq. 19.1-16 tanpa istilah rₐ memiliki bentuk yang sama dengan Eq. 11.2-8 atau 11.2-9. Kesamaan ini sangat penting, karena menjadi dasar untuk analogi yang sering dibuat antara transportasi panas dan massa dalam fluida yang mengalir dengan sifat fisik yang konstan.

Sistem Biner dengan Konstan

Untuk asumsi ini, Eq. 19.1-15 menjadi, setelah memasukkan hukum Fick dari Eq. (B) dalam Tabel 17.8-2

dengan persamaan yang sesuai untuk spesies B. Persamaan ini berguna untuk gas berdensitas rendah pada suhu dan tekanan konstan. Sisi kiri tidak dapat ditulis sebagai cDₓ/Dt karena munculnya vₐ daripada v.

Sistem Biner dengan Kecepatan Nol

Jika tidak ada reaksi kimia yang terjadi, maka istilah produksi kimia semuanya nol. Jika, selain itu, v nol dan ρ konstan dalam Eq. 19.1-16, atau vₐ nol dan c konstan dalam Eq. 19.1-17, maka kita mendapatkan

yang disebut sebagai hukum difusi kedua Fick, atau kadang-kadang cukup sebagai persamaan difusi. Persamaan ini biasanya digunakan untuk difusi dalam padatan atau cairan diam (yaitu, v = 0 dalam Eq. 19.1-16) dan untuk kontra-difusi ekuimolar dalam gas (yaitu, vₐ = 0 dalam Eq. 19.1-17). Dengan kontra-difusi ekuimolar, kami maksudkan bahwa fluks molar bersih terhadap koordinat yang diam adalah nol; dengan kata lain, untuk setiap mol A yang bergerak, katakanlah, ke arah z positif, ada satu mol B yang bergerak ke arah z negatif.

Perhatikan bahwa Eq. 19.1-18 memiliki bentuk yang sama dengan persamaan konduksi panas dalam Eq. 11.2-10. Kesamaan ini menjadi dasar untuk analogi antara banyak masalah konduksi panas dan difusi dalam padatan. Harap diingat bahwa banyak ratusan masalah yang dijelaskan oleh hukum kedua Fick telah diselesaikan. Solusi-solusi tersebut terdaftar dalam monograf Crank dan Carslaw dan Jaeger.

Dalam Tabel B-10 dan B-11, kami memberikan Eq. 19.1-14 (persamaan kontinuitas multikomponen dalam istilah jₐ) dan Eq. 19.1-16 (persamaan difusi biner untuk ρ konstan dan DₐB) dalam tiga sistem koordinat standar. Bentuk lain dari persamaan kontinuitas dapat dibentuk berdasarkan ini.

Example 19.1-1: Difusi, Konveksi, dan Reaksi Kimia

Dalam Gambar 19.1-1, kami menunjukkan suatu sistem di mana suatu cairan, B, bergerak perlahan ke atas melalui plug berpori yang sedikit larut dari A. Kemudian A perlahan-lahan menghilang melalui reaksi orde pertama setelah larut. Temukan profil konsentrasi keadaan tunak cₐ(z), di mana z adalah koordinaat ke atas dari plug. Anggaplah bahwa profil kecepatan hampir datar di seluruh tabung. Anggap lebih lanjut bahwa Cₐ₀ adalah kelarutan A yang tidak bereaksi dalam B. Abaikan efek suhu yang terkait dengan panas reaksi.

SOLUTION

Eq. 19.1-16 sesuai untuk larutan cair encer. Membagi persamaan ini dengan berat molekul Mₐ dan memfokuskan pada masalah keadaan tunak satu dimensi yang ada, kita mendapatkan untuk ρ konstan:

Ini akan diselesaikan dengan kondisi batas bahwa cₐ = Cₐ₀ pada z = 0 dan cₐ = 0 pada z = ∞. Eq. 19.1-19 adalah persamaan diferensial linear orde kedua standar (Eq. C.7) yang memiliki metode penyelesaian yang dikenal dengan baik.

Fungsi percobaan cₐ = e^{az} menghasilkan dua nilai a, salah satunya melanggar kondisi batas pada z = ∞. Solusi akhirnya adalah

Contoh ini menggambarkan penggunaan persamaan kontinuitas A untuk menyusun masalah difusi dengan konveksi dan reaksi kimia.