Persamaan-persemaan yang Dilapisi Waktu untuk Fluida Tak Terkompresi
TIME-SMOOTHED EQUATIONS OF CHANGE FOR INCOMPRESSIBLE FLUIDS
Kita mulai dengan mempertimbangkan aliran turbulen dalam sebuah tabung dengan gradien tekanan konstan yang diterapkan. Jika pada satu titik dalam fluida kita mengamati salah satu komponen kecepatan sebagai fungsi waktu, kita akan mendapati bahwa kecepatan tersebut berfluktuasi secara kacau seperti yang ditunjukkan pada Gambar 5.2-1(a). Fluktuasi ini adalah deviasi tidak teratur dari nilai rata-ratanya. Kecepatan aktual dapat dianggap sebagai jumlah dari nilai rata-rata (ditandai dengan garis atas) dan fluktuasi (ditandai dengan tanda prim). Sebagai contoh, untuk komponen kecepatan arah-z kita tulis
yang kadang disebut sebagai dekomposisi Reynolds. Nilai rata-rata diperoleh dari vz(t) dengan melakukan rata-rata waktu atas sejumlah fluktuasi yang besar.
Gambar 5.2-1. Sketsa yang menunjukkan komponen kecepatan vz, serta nilai rata-ratanya vz dan fluktuasinya vz’ dalam aliran turbulen (a) untuk “aliran turbulen yang didorong secara terus-menerus” di mana vz tidak bergantung pada waktu, dan (b) untuk situasi di mana vz bergantung pada waktu.
Periode t0 harus cukup panjang untuk memberikan fungsi rata-rata yang halus. Untuk sistem tersebut, kuantitas vz, yang kita sebut kecepatan yang dilapisi waktu, tidak bergantung pada waktu, tetapi tentu saja bergantung pada posisi. Ketika kecepatan yang dilapisi waktu tidak bergantung pada waktu, kita menyebutnya aliran turbulen yang didorong secara terus-menerus. Komentar yang sama berlaku untuk tekanan.
Selanjutnya, kita mempertimbangkan aliran turbulen dalam tabung dengan gradien tekanan yang bergantung pada waktu. Untuk aliran seperti ini, kita bisa mendefinisikan kuantitas yang dilapisi waktu seperti di atas, tetapi periode t0 harus kecil dibandingkan dengan perubahan gradien tekanan, tetapi tetap cukup besar dibandingkan dengan periode fluktuasi. Untuk situasi ini, kecepatan yang dilapisi waktu dan kecepatan aktual digambarkan pada Gambar 5.2-1(b). Menurut definisi pada Eq. 5.2-2, mudah untuk memverifikasi bahwa hubungan berikut benar:
Kuantitas vz’2 tidak akan nol, dan rasio √vz’2/〈vz〉 dapat dianggap sebagai ukuran besar fluktuasi turbulen. Kuantitas ini, yang dikenal sebagai intensitas turbulensi, dapat memiliki nilai dari 1 hingga 10% di bagian utama aliran turbulen dan nilai 25% atau lebih tinggi di sekitar dinding padat. Oleh karena itu, perlu ditekankan bahwa kita tidak selalu berhadapan dengan gangguan kecil; kadang-kadang fluktuasi sebenarnya cukup besar dan kuat.
Kuantitas seperti v’xv’y juga tidak nol. Hal ini karena gerakan lokal di arah x dan y saling berkorelasi. Dengan kata lain, fluktuasi di arah x tidak independen dari fluktuasi di arah y. Kita akan melihat bahwa nilai waktu-rata-rata dari produk properti yang berfluktuasi ini memiliki peran penting dalam transfer momentum turbulen. Nanti, kita juga akan menemukan korelasi serupa dalam transportasi panas dan massa turbulen.
Setelah mendefinisikan kuantitas yang telah dirata-rata waktu dan membahas beberapa sifat dari kuantitas yang berfluktuasi, kita sekarang dapat melanjutkan ke perataan waktu dari persamaan-persamaan perubahan. Untuk menjaga agar pengembangan tetap sederhana, di sini kita hanya mempertimbangkan persamaan untuk fluida dengan densitas dan viskositas konstan. Kita mulai dengan menuliskan persamaan kontinuitas dan gerakan dengan v digantikan oleh v + v’ dan P digantikan oleh P + p’. Persamaan kontinuitas kemudian adalah (∇ . v), dan kita tuliskan komponen-x dari persamaan gerakan, Eq. 3.5-6, dalam bentuk ∂/∂t dengan menggunakan Eq. 3.5-5:
Komponen-y dan komponen-z dari persamaan gerakan dapat ditulis dengan cara yang serupa. Selanjutnya, kita rata-ratakan waktu persamaan-persamaan ini, menggunakan hubungan yang diberikan dalam Eq. 5.2-3. Ini menghasilkan:
Dengan hubungan serupa untuk komponen-y dan komponen-z dari persamaan gerakan, ini adalah persamaan kontinuitas dan gerakan yang telah dirata-ratakan waktu untuk fluida dengan kepadatan dan viskositas konstan. Dengan membandingkannya dengan persamaan yang sesuai dalam Eq. 3.1-5 dan Eq. 3.5-6 (yang terakhir ditulis ulang dalam bentuk ∂/∂t, kita menyimpulkan bahwa:
a. Persamaan kontinuitas tetap sama seperti sebelumnya, kecuali bahwa v sekarang digantikan oleh v.
b. Persamaan gerakan sekarang memiliki v dan p di mana sebelumnya kita memiliki v dan p. Selain itu, muncul istilah yang digarisbawahi dengan garis putus-putus, yang menggambarkan transportasi momentum yang terkait dengan fluktuasi turbulen.
Kita dapat menulis ulang Eq. 5.2-7 dengan memperkenalkan tensor fluks momentum turbulen τ’t dengan komponen-komponen sebagai berikut:
Kuantitas-kuantitas ini biasanya disebut sebagai tegangan Reynolds. Kita juga dapat memperkenalkan simbol τ’v untuk fluks momentum viskositas yang rata-rata waktu. Komponen-komponen tensor ini memiliki bentuk yang sama seperti ungkapan-ungkapan yang diberikan di Lampiran B.1 hingga B.3, kecuali bahwa komponen kecepatan yang rata-rata waktu muncul di dalamnya.
Dengan demikian, kita dapat menulis persamaan perubahan dalam bentuk vektor-tensor sebagai:
Persamaan 5.2-11 adalah persamaan tambahan yang diperoleh dengan mengurangi Persamaan 5.2-10 dari persamaan kontinuitas yang asli.
Hasil utama dari bagian ini adalah bahwa persamaan gerakan yang menggunakan tensor tegangan, seperti yang dirangkum dalam Tabel B.5 di Lampiran, dapat disesuaikan untuk aliran turbulen yang dilapisi waktu dengan mengganti semua vi dengan vi dan p dengan p, serta τij menjadi τij = τij’v + τij’t dalam sistem koordinat yang ada.
Sekarang kita telah sampai pada masalah utama dalam teori turbulensi. Tegangan Reynolds τij’t di atas tidak berhubungan dengan gradien kecepatan dengan cara sederhana seperti halnya tegangan viskositas yang dilapisi waktu τij’v dalam Persamaan 5.2-9. Sebaliknya, tegangan Reynolds adalah fungsi yang rumit dari posisi dan intensitas turbulensi. Untuk menyelesaikan masalah aliran, kita harus memiliki informasi eksperimental tentang tegangan Reynolds atau menggunakan ekspresi empiris. Di bagian 5.4, kita akan membahas beberapa ekspresi empiris yang tersedia.
Sebenarnya, kita juga bisa memperoleh persamaan perubahan untuk tegangan Reynolds (lihat Masalah 5D.1). Namun, persamaan-persamaan ini mengandung kuantitas seperti v’i v’j v’k. Demikian pula, persamaan perubahan untuk v’i v’j v’k mengandung korelasi tingkat lebih tinggi seperti v’i v’j v’k v’l, dan seterusnya. Artinya, terdapat hirarki persamaan yang tak berujung yang harus dipecahkan. Untuk menyelesaikan masalah aliran, kita harus “memotong” hirarki ini dengan memperkenalkan empirisisme. Jika kita menggunakan empirisisme untuk tegangan Reynolds, kita mendapatkan teori “tahap pertama”. Jika kita memperkenalkan empirisisme untuk v’i v’j v’k, kita mendapatkan teori “tahap kedua”, dan seterusnya. Masalah dalam memperkenalkan empirisisme untuk mendapatkan seperangkat persamaan yang tertutup yang bisa diselesaikan untuk distribusi kecepatan dan tekanan disebut “masalah penutupan”. Diskusi dalam bagian 5.4 membahas penutupan pada tahap pertama. Pada tahap kedua, empirisisme “k-ε” telah dipelajari secara mendalam dan banyak digunakan dalam mekanika fluida komputasi.