Persamaan perubahan dalam bentuk turunan substansial
THE EQUATIONS OF CHANGE IN TERMS OF THE SUBSTANTIAL DERIVATIVE
Sebelum melanjutkan, perlu dicatat bahwa beberapa turunan waktu yang berbeda dapat ditemui dalam fenomena transportasi. Kami ilustrasikan ini dengan contoh sederhana—yaitu, pengamatan konsentrasi ikan di Sungai Mississippi. Karena ikan bergerak, konsentrasi ikan pada umumnya akan bergantung pada posisi (x, y, z) dan waktu (t).
Turunan Waktu Parsial ∂/∂t
Jika kita berdiri di jembatan dan mengamati konsentrasi ikan di bawah kita seiring waktu, kita mencatat laju perubahan konsentrasi ikan di lokasi tetap. Hasilnya adalah ∂c/∂t|x, y, z, turunan parsial c terhadap t pada posisi tetap x, y, z.
Turunan Waktu Total d/dt
Jika kita naik perahu motor dan bergerak di sungai, baik naik, turun, atau melintang arus, laju perubahan konsentrasi ikan yang kita amati pada setiap saat adalah
di mana dx/dt, dy/dt, dan dz/dt adalah komponen kecepatan perahu.
Turunan Substansial D/Dt
Selanjutnya, jika kita naik kano dan hanya mengapung mengikuti arus sambil mengamati konsentrasi ikan, kecepatan kita sama dengan kecepatan arus v yang memiliki komponen vx, vy, dan vz. Pada setiap saat, laju perubahan konsentrasi ikan yang kita laporkan adalah turunan substansial dari konsentrasi ikan.
Operator khusus D/Dt = ∂/∂t + v.∇ disebut turunan substansial (artinya laju perubahan waktu dilaporkan saat bergerak bersama “zat”). Istilah lain yang digunakan adalah turunan material, turunan hidrodinamik, dan turunan mengikuti gerakan.
Untuk mengonversi persamaan dari bentuk ∂/∂t ke D/Dt, kita dapat melakukan manipulasi berikut untuk fungsi skalar f(x, y, z, t):
Kuantitas dalam tanda kurung kedua pada baris kedua adalah nol sesuai dengan persamaan kontinuitas. Oleh karena itu, persamaan (3.5-3) dapat ditulis dalam bentuk vektor sebagai:
Begitu pula, untuk fungsi vektor f(x, y, z, t).
Persamaan-persamaan ini dapat digunakan untuk menulis ulang persamaan perubahan yang diberikan di 3.3.1 hingga 3.4 dalam bentuk turunan substansial seperti yang ditunjukkan dalam Tabel 3.5-1.
Persamaan A dalam Tabel 3.5-1 menunjukkan bagaimana densitas berubah saat bergerak bersama fluida, karena kompresi [(∇· v) < 0] atau ekspansi [(∇ · v) > 0]. Persamaan B dapat diartikan sebagai massa × percepatan = jumlah gaya tekan, gaya viskos, dan gaya eksternal. Dengan kata lain, Persamaan 3.2-9 setara dengan hukum kedua Newton yang diterapkan pada sepotong kecil fluida yang gerak lokalnya mengikuti kecepatan fluida v (lihat Masalah 3D.1).
Selanjutnya, kita akan membahas secara singkat tiga penyederhanaan paling umum dari persamaan gerak.
(i) Untuk ρ dan μ konstan, memasukkan ekspresi Newtonian untuk τ dari Persamaan 1.2-7 ke dalam persamaan gerak menghasilkan persamaan Navier-Stokes yang terkenal. Persamaan ini pertama kali dikembangkan oleh Navier dari argumen molekuler dan oleh Stokes dari argumen kontinuum.
Dalam bentuk kedua, kita menggunakan “tekanan modifikasi” φ = p + ρgh yang diperkenalkan dalam Bab 2, di mana h adalah elevasi dalam medan gravitasi dan gh adalah tekanan akibat gravitasi;;
Gambar 3.5-1. Persamaan keadaan untuk fluida sedikit kompresibel dan fluida inkompresibel ketika T adalah konstan.
Energi potensial per unit massa. Persamaan 3.5-6 adalah titik awal standar untuk menggambarkan aliran isothermal dari gas dan cairan.
Perlu diingat bahwa, ketika diasumsikan ρ konstan, persamaan keadaan (pada suhu konstan) adalah garis vertikal pada plot p vs ρ (lihat Gambar 3.5-1). Dengan demikian, tekanan mutlak tidak lagi dapat ditentukan dari ρ dan T, meskipun gradien tekanan dan perbedaan instan tetap dapat ditentukan dengan Persamaan 3.5-6 atau 3.5-7. Tekanan mutlak juga dapat diperoleh jika ρ diketahui pada suatu titik dalam sistem.
(ii) Ketika istilah percepatan dalam persamaan Navier-Stokes diabaikan, yaitu ketika ρ(Dv/Dt) = 0—kita mendapatkan;
Persamaan ini disebut persamaan aliran Stokes atau kadang disebut persamaan aliran merayap. Istilah ρ[v.∇v], yang kuadratik dalam kecepatan, bisa diabaikan ketika aliran sangat lambat. Dalam beberapa kasus, seperti aliran Hagen-Poiseuille di tabung, istilah ρ[v.∇v] menghilang, dan tidak ada pembatasan pada aliran lambat. Persamaan aliran Stokes penting dalam teori pelumasan, studi pergerakan partikel dalam suspensi, aliran melalui media berpori, dan pergerakan mikroba. Ada banyak literatur tentang topik ini.
(iii) Ketika gaya viskos diabaikan—yaitu, ∇t = 0—persamaan gerak menjadi:
Persamaan ini dikenal sebagai Persamaan Euler untuk fluida “tak berinti”. Meskipun tidak ada fluida yang benar-benar “tak berinti”, terdapat banyak aliran di mana gaya viskos relatif tidak signifikan. Contohnya adalah aliran di sekitar sayap pesawat (kecuali dekat batas padat), aliran sungai di sekitar permukaan hulu jembatan, beberapa masalah dalam dinamika gas yang dapat dimampatkan, dan aliran arus laut.
SOLUTION
Hilangkan suku turunan waktu dalam Persamaan 3.5-9, lalu gunakan identitas vektor [v.∇v] = ½∇(v.v) – [v×[∇ ×v]] (Persamaan A.4-23) untuk menulis ulang persamaan sebagai:
Dalam menuliskan suku terakhir, kita telah menyatakan g sebagai —∇φ = –g∇h, di mana h adalah elevasi dalam medan gravitasi.
Selanjutnya, kita membagi Persamaan 3.5-10 dengan ρ dan kemudian mengambil perkalian titik dengan vektor satuan s = v/|v| dalam arah aliran. Setelah ini dilakukan, suku yang melibatkan curl dari medan kecepatan dapat ditunjukkan menghilang (latihan yang bagus dalam analisis vektor), dan (s.∇) dapat digantikan oleh d/ds, di mana s adalah jarak sepanjang garis arus. Dengan demikian kita mendapatkan;
Ketika ini diintegrasikan sepanjang garis arus dari titik 1 ke titik 2, kita mendapatkan:
Ini disebut Persamaan Bernoulli. Persamaan ini menghubungkan kecepatan, tekanan, dan elevasi dari dua titik sepanjang garis arus dalam fluida yang mengalir dalam kondisi tunak. Persamaan ini digunakan dalam situasi di mana viskositas dapat dianggap berperan cukup kecil.