Profil Kecepatan yang Dilapisi Waktu Dekat Dinding
THE TIME-SMOOTHED VELOCITY PROFILE NEAR A WALL
Sebelum membahas berbagai ekspresi empiris yang digunakan untuk tegangan Reynolds, kami akan mempresentasikan beberapa perkembangan yang tidak bergantung pada empirisisme. Kami akan membahas distribusi kecepatan yang sudah sepenuhnya berkembang dan dilapisi waktu di sekitar dinding. Kami akan membahas beberapa hasil: perluasan Taylor dari kecepatan dekat dinding, dan distribusi kecepatan logaritmik serta hukum daya yang umum sedikit lebih jauh dari dinding.
Aliran dekat permukaan datar digambarkan dalam Gambar 5.3-1. Terdapat empat daerah aliran yang nyaman untuk dibedakan:
- Lapisan Viskos: Sangat dekat dinding, di mana kekentalan memainkan peran penting.
- Lapisan Buffer: Tempat transisi antara lapisan viskos dan lapisan inertial terjadi.
- Lapisan Inertial: Di awal aliran turbulen utama, di mana kekentalan berperan sangat kecil.
- Aliran Turbulen Utama: Di mana distribusi kecepatan yang dilapisi waktu hampir datar dan kekentalan tidak penting.
Perlu ditekankan bahwa klasifikasi ini agak bersifat arbitrer.
Gambar 5.3-1. Daerah aliran untuk menggambarkan aliran turbulen dekat dinding: 1) lapisan viskos, 2) lapisan buffer, 3) lapisan inertial, 4) aliran turbulen utama.
Profil Kecepatan Logaritmik dan Hukum Pangkat di Lapisan Inertial
Biarkan tegangan geser yang dilapisi waktu yang bekerja pada dinding y = 0 disebut τ0 (ini sama dengan –τyx|y = 0) pada y = 0. Maka, tegangan geser di lapisan inertial tidak akan sangat berbeda dari nilai τ0. Sekarang kita bertanya: Faktor apa yang akan mempengaruhi gradien kecepatan yang dilapisi waktu dvx/dy Gradien ini seharusnya tidak bergantung pada kekentalan, karena di luar lapisan buffer, transportasi momentum harus bergantung terutama pada fluktuasi kecepatan (secara longgar disebut sebagai “gerakan eddy”). Gradien ini mungkin bergantung pada kepadatan ρ, tegangan geser dinding τ0, dan jarak y dari dinding. Satu-satunya kombinasi dari ketiga faktor ini yang memiliki dimensi gradien kecepatan adalah √τ0/ρ/y. Maka kita menulis:
Di mana K adalah konstanta tak berdimensi yang harus ditentukan secara eksperimental. Besaran √τ0/ρ/y memiliki dimensi kecepatan; ini disebut kecepatan gesekan dan diberi simbol v*. Ketika Persamaan 5.3-1 diintegrasikan, kita mendapatkan
λ’ adalah konstanta integrasi. Untuk menggunakan pengelompokan tak berdimensi, kita menulis ulang Persamaan 5.3-2 sebagai
di mana λ adalah konstanta yang terkait langsung dengan λ’; viskositas kinematik ν dimasukkan untuk membentuk argumen tak berdimensi dari logaritma. Secara eksperimental, telah ditemukan bahwa nilai-nilai konstanta yang masuk akal adalah K = 0.4 dan λ = 5.5, sehingga persamaannya menjadi
Ini disebut distribusi kecepatan logaritmik universal von Kármán-Prandtl; persamaan ini dimaksudkan untuk diterapkan hanya pada lapisan inersial. Nantinya, kita akan melihat (pada Gambar 5.5-3) bahwa fungsi ini cukup baik menggambarkan data eksperimen sedikit di luar lapisan inersial.
Jika Persamaan 5.3-1 benar, maka konstanta K dan λ memang akan menjadi “konstanta universal” yang berlaku pada semua bilangan Reynolds. Namun, dalam literatur ditemukan nilai K berkisar antara 0,40 hingga 0,44 dan nilai λ berkisar antara 5,0 hingga 6,3, tergantung pada rentang bilangan Reynolds. Hal ini menunjukkan bahwa sisi kanan Persamaan 5.3-1 seharusnya dikalikan dengan beberapa fungsi dari bilangan Reynolds, dan bahwa y dapat dipangkatkan dengan suatu eksponen yang melibatkan bilangan Reynolds. Argumen teoretis telah diajukan bahwa Persamaan 5.3-1 seharusnya diganti dengan:
di mana B0 = ½√3, B1 = 15/4, dan β1 = 3/2. Ketika Persamaan 5.3-5 diintegrasikan terhadap y, diperoleh distribusi kecepatan universal Barenblatt-Chorin:
Persamaan 5.3-6 menggambarkan area 3 dan 4 pada Gambar 5.3-1 dengan lebih baik dibandingkan Persamaan 5.3-4. Area a lebih baik dijelaskan oleh Persamaan 5.3-13.
Pengembangan Deret Taylor dalam Lapisan Viskos
Kita mulai dengan menulis deret Taylor untuk vx sebagai fungsi dari , yaitu:
Untuk mengevaluasi istilah-istilah dalam deret ini, kita memerlukan ekspresi untuk tegangan geser yang dilapisi waktu di sekitar dinding. Untuk kasus khusus aliran yang didorong secara konstan dalam celah dengan ketebalan 2B, tegangan geser akan berbentuk tyx = t’vyx + t’tyx = –t0[–1(y/B)]. Kemudian, dari Persamaan 5.2-8 dan 5.2-9, kita memiliki:
Sekarang kita periksa satu per satu istilah yang muncul dalam Eq. 5.3-7:
- Istilah pertama bernilai nol karena kondisi tidak ada slip.
- Koefisien dari istilah kedua dapat diperoleh dari Eq. 5.3-8, dengan mengingat bahwa baik v’x maupun v’y adalah nol di dinding sehingga
Koefisien dari istilah ketiga melibatkan turunan kedua, yang dapat diperoleh dengan mendiferensiasi Eq. 5.3-8 terhadap y dan kemudian mengatur y = 0, sebagai berikut; karena baik v’x maupun v’y adalah nol di dinding.
- Koefisien dari istilah keempat melibatkan turunan ketiga, yang dapat diperoleh dari Eq. 5.3-8, yaitu:Koefisien dari istilah keempat melibatkan turunan ketiga, yang dapat diperoleh dari Eq. 5.3-8, yaitu:
Di sini, Persamaan 5.2-11 telah digunakan.
Sepertinya tidak ada alasan untuk menyamakan koefisien berikutnya menjadi nol, sehingga kita menemukan bahwa deret Taylor, dalam kuantitas tanpa dimensi, memiliki bentuk:
Koefisien C telah diperoleh secara eksperimental, sehingga kita memiliki hasil akhirnya:
Istilah y³ dalam kurung akan menjadi sangat penting dalam hubungan transfer panas dan massa turbulen di Bab 13, 14, 21, dan 22. Untuk daerah 5 < yv*/v <30, tidak ada derivasi analitis sederhana yang tersedia, dan sering kali digunakan kurva fit empiris. Salah satu contohnya ditunjukkan pada Gambar 5.5-3 untuk tabung melingkar.