TEORI KONDUKTIVITAS TERMAL GAS PADA KEPADATAN RENDAH
THEORY OF THERMAL CONDUCTIVITY OF GASES AT LOW DENSITY
Konduktivitas termal gas monatomik yang encer sudah dipahami dengan baik dan dapat dijelaskan oleh teori kinetik gas pada kepadatan rendah. Meskipun teori rinci untuk gas poliatomik telah dikembangkan, umumnya digunakan teori pendekatan sederhana. Di sini, seperti dalam §9.1.5, kita memberikan penurunan lintasan bebas rata-rata yang disederhanakan untuk gas monatomik, dan kemudian merangkum hasil teori kinetik gas Chapman-Enskog.
Kita menggunakan model bola kaku yang tidak menarik dengan massa m dan diameter d. Gas secara keseluruhan diam (v = 0), tetapi gerakan molekul harus diperhitungkan. Seperti dalam §9.1.5, kita menggunakan hasil berikut untuk gas bola kaku:
Molekul-molekul yang mencapai suatu bidang dalam gas, rata-rata, mengalami tumbukan terakhir mereka pada jarak a dari bidang, di mana:
Dalam persamaan ini, K adalah konstanta Boltzmann, n adalah jumlah molekul per satuan volume, dan m adalah massa sebuah molekul. Satu-satunya bentuk energi yang dapat dipertukarkan dalam tumbukan antara dua bola kaku halus adalah energi translasi. Rata-rata energi translasi per molekul dalam kondisi kesetimbangan adalah:
seperti yang ditunjukkan pada Prob. 1C.1. Untuk gas seperti itu, kapasitas panas molar pada volume konstan adalah:
di mana R adalah konstanta gas. Persamaan 9.3-6 memadai untuk gas monatomik hingga suhu beberapa ribu derajat.
Untuk menentukan konduktivitas termal, kita mengamati perilaku gas di bawah gradien suhu dT/dy (lihat Gambar 9.3-1). Diasumsikan bahwa persamaan 9.3-1 hingga 6 tetap berlaku dalam kondisi non-kesetimbangan ini, kecuali bahwa $rnZ dalam persamaan 9.3-5 dianggap sebagai energi kinetik rata-rata untuk molekul yang mengalami tumbukan terakhir di wilayah dengan suhu T. Fluks panas qy di seluruh bidang dengan y konstan ditemukan dengan menjumlahkan energi kinetik molekul yang melintasi bidang per satuan waktu ke arah y positif dan mengurangkan energi kinetik molekul yang melintasi ke arah y negatif.
Persamaan 9.3-7 didasarkan pada asumsi bahwa semua molekul memiliki kecepatan yang mewakili wilayah tumbukan terakhir mereka, dan profil suhu T(y) adalah linier untuk jarak beberapa lintasan bebas rata-rata. Berdasarkan asumsi ini, kita dapat menuliskan:
Dengan menggabungkan tiga persamaan terakhir, kita memperoleh:
Ini sesuai dengan hukum konduksi panas Fourier (Persamaan 9.1-2) dengan konduktivitas termal diberikan oleh:
di mana p = n m adalah kepadatan gas, dan k_v = fK/m (dari Persamaan 9.3-6). Penggantian ekspresi untuk ii dan A dari Persamaan 9.3-1 dan 3 kemudian menghasilkan:
Ini adalah konduktivitas termal gas encer yang terdiri dari bola kaku dengan diameter d. Persamaan ini memprediksi bahwa k tidak tergantung pada tekanan. Gambar 9.2-1 menunjukkan bahwa prediksi ini sesuai dengan data eksperimen hingga sekitar 10 atm untuk sebagian besar gas. Ketergantungan suhu yang diprediksi terlalu lemah, seperti halnya untuk viskositas. Untuk penanganan yang lebih akurat dari gas monatomik, kita merujuk kembali ke perlakuan ketat Chapman-Enskog yang dibahas dalam §9.1.5. Formula Chapman-Enskog untuk konduktivitas termal gas monatomik pada kepadatan rendah dan suhu T adalah:
Dalam bentuk kedua dari persamaan ini, k [= 1 cal/cm²·s·K], T [= 1 K], a [= 1 A], dan “integral tumbukan” untuk konduktivitas termal, S²k, identik dengan yang untuk viskositas, a, dalam §9.1.4.
Nilai ilk = a diberikan untuk potensi intermolekuler Lennard-Jones dalam Tabel E.2 sebagai fungsi suhu tanpa dimensi KT/ε. Persamaan 9.3-13, bersama dengan Tabel E.2, terbukti sangat akurat dalam memprediksi konduktivitas termal gas monatomik ketika parameter σ dan ε yang dideduksi dari pengukuran viskositas digunakan (yaitu, nilai-nilai yang diberikan dalam Tabel E.1).
Persamaan 9.3-13 sangat mirip dengan formula viskositas yang sesuai, Persamaan 1.4-14. Dari kedua persamaan ini, kita kemudian dapat memperoleh:
Teori bola kaku yang disederhanakan (lihat Persamaan 1.4-8 dan 9.3-11) memberikan k = εvP dan karenanya mengandung kesalahan faktor 2,5. Hal ini tidak mengejutkan mengingat banyaknya pendekatan yang digunakan dalam perlakuan sederhana tersebut.
Sejauh ini, kita hanya membahas gas monatomik. Dari diskusi di §9.3, kita tahu bahwa dalam tumbukan biner antara molekul diatomik, mungkin terjadi pertukaran antara energi kinetik dan energi internal (misalnya, vibrasi dan rotasi). Pertukaran ini tidak diperhitungkan dalam teori Chapman-Enskog untuk gas monatomik. Oleh karena itu, teori Chapman-Enskog tidak memadai untuk menggambarkan konduktivitas termal molekul poliatomik.
Metode semiempiris sederhana untuk memperhitungkan pertukaran energi pada gas poliatomik dikembangkan oleh Eucken. Persamaannya untuk konduktivitas termal gas poliatomik pada kepadatan rendah adalah:
Formula Eucken ini mencakup formula monatomik (Persamaan 9.3-14) sebagai kasus khusus, karena α = (R/M) untuk gas monatomik. Hirschfelder memperoleh formula serupa dengan menggunakan teori campuran multikomponen (lihat Contoh 19.4-4). Teori, korelasi, dan formula empiris lainnya juga tersedia. Persamaan 9.3-15 menyediakan metode sederhana untuk memperkirakan angka Prandtl, yang didefinisikan dalam Persamaan 9.1-8.
Persamaan ini cukup memadai untuk gas poliatomik nonpolar pada kepadatan rendah, seperti yang terlihat dalam Tabel 9.3-1; namun, kurang akurat untuk molekul polar.
Konduktivitas termal untuk campuran gas pada kepadatan rendah dapat diperkirakan dengan metode yang mirip dengan yang sebelumnya diberikan untuk viskositas (lihat Persamaan 1.4-15 dan 16):
xᵢ adalah fraksi mol, dan Kᵢ adalah konduktivitas termal dari spesies kimia murni. Koefisien-koefisien φ ini identik dengan yang muncul dalam persamaan viskositas.
Semua nilai kᵢ dalam Persamaan 9.3-17 dan pᵢ dalam Persamaan 1.4-16 adalah nilai kepadatan rendah pada suhu yang diberikan. Jika data viskositas tidak tersedia, dapat diperkirakan dari k dan Cᵢ melalui Persamaan 9.3-15. Perbandingan dengan data eksperimen menunjukkan deviasi rata-rata sekitar 4% untuk campuran yang mengandung gas poliatomik nonpolar, termasuk O₂, N₂, CO, C₂H₂, dan CH₄.
Example 9.3-1: Perhitungan Konduktivitas Termal Gas Monatomik pada Kepadatan Rendah
Hitung konduktivitas termal Ne pada 1 atm dan 373,2 K.
SOLUTION
Dari Tabel E.1, konstanta Lennard-Jones untuk neon adalah σ = 2,789 Å dan ε/K = 35,7 K, serta berat molekulnya M = 20,183. Kemudian, pada 373,2 K, kita memiliki KT/ε = 373,2/35,7 = 10,45. Dari Tabel E.2, kita menemukan bahwa Φ/k = 0,821. Substitusi ke dalam Persamaan 9.3-13 memberikan:
Nilai yang diukur sebesar 1,35 × 10⁻³ cal/cm²·s·K telah dilaporkan pada 1 atm dan 373,2 K.