TEORI LAPIS BATAS UNTUK ALIRAN NONISOTERMAL

TEORI LAPIS BATAS UNTUK ALIRAN NON-ISOTERMAL

BOUNDARY LAYER THEORY FOR NON-ISOTHERMAL FLOW

Dalam §4.4, penggunaan pendekatan lapisan batas untuk aliran laminar, mantap, dan tak terkompresi pada suhu konstan telah dibahas. Di dekat permukaan padat, persamaan kontinuitas dan gerak dapat disederhanakan dan diselesaikan untuk mendapatkan “solusi lapisan batas yang tepat.” Selain itu, bentuk terintegrasi dari persamaan ini (keseimbangan momentum von Kármán) memungkinkan kita mendapatkan “solusi lapisan batas yang mendekati.” Dalam bagian ini, pengembangan tersebut diperluas dengan memasukkan persamaan lapisan batas untuk transportasi energi, sehingga profil suhu di dekat permukaan padat dapat diperoleh.

Seperti pada §4.4, kita mempertimbangkan aliran dua dimensi yang mantap di sekitar objek tenggelam, seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 4.4-1. Di sekitar permukaan padat, persamaan perubahan dapat ditulis (menghilangkan bar di atas p dan P) sebagai:

Di sini, p, μ, k, dan Cp dianggap konstan, dan pengaruh pemanasan viskos, μ(dvₓ/dy)², diabaikan. Solusi dari persamaan ini secara asimtotik akurat untuk difusivitas momentum kecil, ν = μ/ρ, dan difusivitas termal kecil, α = k/(ρCp). Persamaan 12.4-1 sama dengan persamaan 4.4-1, sementara persamaan 12.4-2 berbeda dari 4.4-2 karena adanya gaya apung yang signifikan meskipun perubahan fraksional dalam densitas kecil.

Persamaan 12.4-3 diperoleh dari 11.2-9 dengan mengabaikan konduksi panas dalam arah x. Bentuk lebih lengkap dari persamaan lapisan batas dapat ditemukan di tempat lain. Kondisi batas biasanya untuk persamaan 12.4-1 dan 12.4-2 adalah vₓ = vᵧ = 0 di permukaan padat, dan kecepatan menyatu dengan aliran potensial di tepi luar lapisan batas kecepatan (vₓ → vₓ(x)). Untuk persamaan 12.4-3, suhu T ditentukan T₀ di permukaan padat dan Tₑ di tepi luar lapisan batas termal.

Ketebalan lapisan batas kecepatan dan suhu akan berbeda tergantung pada difusi momentum dan panas, dengan Pr = ν/α. Jika Pr > 1, lapisan batas suhu biasanya berada di dalam lapisan batas kecepatan; sebaliknya, jika Pr < 1, ketebalan relatifnya terbalik (untuk gas, Pr sekitar 2/3, sedangkan untuk cairan biasa Pr > 1, dan untuk logam cair Pr << 1).

Pada 94.4, kami menunjukkan bahwa persamaan gerak lapisan batas dapat diintegrasikan secara formal dari y = 0 hingga y = ∞, dengan menggunakan persamaan kontinuitas. Dengan cara serupa, integrasi dari persamaan 12.4-1 hingga 12.4-3 dapat dilakukan untuk menghasilkan:

Persamaan 12.4-4 dan 12.4-5 adalah keseimbangan momentum dan energi von Kármán, yang berlaku untuk sistem konveksi paksa dan konveksi bebas. Kondisi no-slip (vy = 0 pada y = 0) telah digunakan di sini, seperti pada Persamaan 4.4-4. Untuk sistem transfer massa, di mana kecepatan tidak nol di y = 0, akan dibahas pada Bab 20.

Seperti disebutkan dalam 4.4, terdapat dua pendekatan untuk menyelesaikan masalah lapisan batas: solusi analitis atau numerik dari Persamaan 12.4-1 hingga 12.4-3 yang disebut “solusi lapisan batas eksak,” sedangkan solusi yang diperoleh dari Persamaan 12.4-4 dan 12.4-5, dengan dugaan profil kecepatan dan suhu yang masuk akal, disebut “solusi lapisan batas perkiraan.” Metode kedua sering memberikan wawasan fisik yang cukup dengan upaya yang relatif kecil. Contoh 12.4-1 mengilustrasikan metode ini.

Persamaan lapisan batas banyak digunakan untuk menetapkan korelasi antara laju perpindahan momentum dan panas, yang akan dibahas lebih lanjut di Bab 14.

Penggunaan Persamaan 12.4-4 dan 5 sekarang menjadi langsung tetapi melelahkan. Substitusi dari Persamaan 12.4-6 hingga 9 ke dalam integral memberikan (dengan vₓ disamakan dengan vₓ di sini)

Dalam integral ini, . Selanjutnya, substitusi integral ini ke dalam Persamaan 12.4-4 dan 5 memberikan persamaan diferensial untuk ketebalan lapisan batas. Persamaan diferensial terpisah orde pertama ini dapat dengan mudah diintegrasikan, dan kita g

Ketebalan lapisan batas sekarang telah ditentukan, kecuali untuk evaluasi dalam Persamaan 12.4-13. Rasio dari Persamaan 12.4-12 ke Persamaan 12.4-13 memberikan persamaan untuk sebagai fungsi dari bilangan Prandtl:

Ketika persamaan aljabar orde keenam ini diselesaikan untuk sebagai fungsi dari Pr, ditemukan bahwa solusinya dapat di-cure-fit dengan hubungan sederhana:dalam kisaran sekitar 5%.

Example 12.4-1: Perpindahan Panas dalam Konveksi Paksa Laminar di Sepanjang Pelat Datar yang Dipanaskan (Metode Integral von Kármán)

Dapatkan profil suhu dekat pelat datar, di mana fluida Newtonian mengalir, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 12.4-1. Permukaan yang basah dari pelat dipertahankan pada suhu To dan suhu fluida yang mendekat adalah T1.

SOLUTION

Untuk menggunakan keseimbangan von Kármán, pertama-tama kita mengajukan bentuk yang wajar untuk profil kecepatan dan suhu. Bentuk polinomial berikut memberikan 0 di dinding dan 1 di batas luar lapisan batas, dengan kemiringan nol di batas luar:

Artinya, kita mengasumsikan bahwa profil kecepatan dan suhu tanpa dimensi memiliki bentuk yang sama dalam lapisan batas masing-masing. Kami lebih lanjut mengasumsikan bahwa ketebalan lapisan batas δ(x) dan δₜ(x) memiliki rasio konstan, sehingga A = δₜ(x)/δ(x) tidak tergantung pada x. Di sini kami mempertimbangkan dan mengalihkan kasus lainnya ke Masalah 12D.8.

Gambar 12.4-1. Pengembangan lapisan batas untuk aliran di sepanjang pelat datar yang dipanaskan, menunjukkan lapisan batas termal untuk Permukaan pelat berada pada suhu T₀, dan fluida yang mendekat berada pada suhu Tₗ.

Profil suhu kemudian akhirnya diberikan (untuk A = 1) oleh:

dari mana Asumsi aliran laminar yang dibuat di sini berlaku untuk biasanya lebih besar dari 10^5.

Akhirnya, laju kehilangan panas dari kedua sisi pelat yang dipanaskan dengan lebar W dan panjang L dapat diperoleh dari Persamaan 12.4-5, 11, 12, 15, dan 16:

di mana . Dengan demikian, pendekatan lapisan batas memungkinkan untuk memperoleh ketergantungan laju kehilangan panas Q pada dimensi pelat, kondisi aliran, dan sifat termal fluida.

Persamaan 12.4-17 sesuai dengan baik dengan solusi yang lebih rinci berdasarkan Persamaan 12.4-1 hingga 3. Solusi asimptotik untuk Q pada bilangan Prandtl besar, yang diberikan dalam contoh berikut, memiliki bentuk yang sama kecuali koefisien numerik diganti dengan 0.677. Solusi eksak untuk Q pada bilangan Prandtl hingga, diperoleh secara numerik, memiliki bentuk yang sama kecuali koefisiennya diganti dengan fungsi yang bervariasi lambat C(Pr), yang ditunjukkan dalam Tabel 12.4-1. Nilai C = 0.664 adalah eksak pada Pr = 1 dan baik dalam 52% untuk Pr > 0.6.

Proporsionalitas Q terhadap Pr^(-1/3), ditemukan di sini, adalah benar asimptotik dalam batas saat Pr + ∞, tidak hanya untuk pelat datar tetapi juga untuk semua geometri yang memungkinkan lapisan batas laminar yang tidak terpisah, seperti yang diilustrasikan dalam contoh berikut. Penyimpangan dari Q – Pr^(-1/3) terjadi pada bilangan Prandtl hingga untuk aliran sepanjang pelat datar dan bahkan lebih untuk aliran di dekat objek berbentuk lain dan di dekat permukaan yang berputar. Penyimpangan ini timbul dari nonlinieritas profil kecepatan dalam lapisan batas termal. Ekspansi asimptotik untuk ketergantungan Q terhadap Pr telah dipresentasikan oleh Merk dan lainnya.