Transportasi Keadaan Tetap dalam Lapisan Batas Biner

STEADY-STATE TRANSPORT IN BINARY BOUNDARY LAYERS

Dalam 12.4, kami membahas penerapan analisis lapisan batas pada aliran nonisotermal dari fluida murni. Persamaan kontinuitas, gerakan, dan energi disajikan dalam bentuk lapisan batas dan diselesaikan untuk beberapa situasi sederhana. Dalam bagian ini, kami memperluas sekumpulan persamaan lapisan batas menjadi campuran reaksi biner, menambahkan persamaan kontinuitas untuk spesies A sehingga profil konsentrasi dapat dievaluasi. Kemudian kami menganalisis tiga contoh untuk geometri pelat datar: satu mengenai konveksi paksa dengan reaksi homogen, satu mengenai transfer massa cepat, dan satu mengenai analogi untuk laju transfer massa yang kecil.

Pertimbangkan aliran dua dimensi yang stabil dari fluida biner di sekitar objek yang terendam, seperti yang ada di Gambar 4.4-1. Di sekitar permukaan padat, persamaan perubahan yang diberikan dalam 18.2 dan 3 dapat disederhanakan sebagai berikut, dengan syarat bahwa pada dasarnya konstan (kecuali dalam suku pg), dan bahwa disipasi viskos dapat diabaikan:

Persamaan kontinuitas sama seperti Eq. 12.4-1. Persamaan gerakan, yang diperoleh dari Eq. 19.2-3, berbeda dari Eq. 12.4-2 dengan penambahan suku gaya apung biner Persamaan energi, yang diperoleh dari Eq. (F) pada Tabel 19.2-4, berbeda dari Eq. 12.4-3 dengan penambahan suku sumber panas kimia Persamaan 20.2-4 diperoleh dari Eq. 19.1-16 dengan mengatur dan mengabaikan difusi dalam arah x. Persamaan yang lebih lengkap, berlaku untuk lapisan batas dengan kecepatan tinggi dan properti variabel, tersedia di tempat lain.

Kondisi batas biasa pada vₓ adalah bahwa vₓ = 0 pada permukaan padat, dan vₓ = vₓ(x) pada tepi luar lapisan batas kecepatan. Kondisi batas biasa pada T dalam Eq. 20.2-3 adalah bahwa T = T₁(x) pada permukaan padat, dan T = T₂ pada tepi luar lapisan batas termal. Kondisi batas yang sesuai pada ω dalam Eq. 20.2-4 adalah bahwa ω = ω₁(x) pada permukaan dan ω = ω₂ pada tepi luar lapisan batas difusi. Dengan demikian, sekarang ada tiga lapisan batas yang harus dipertimbangkan, masing-masing dengan ketebalannya sendiri.

Dalam fluida dengan sifat fisik konstan dan angka Prandtl dan Schmidt yang besar, lapisan batas termal dan difusi biasanya berada dalam lapisan batas kecepatan, sementara untuk Pr < 1 dan Sc < 1 mereka mungkin meluas melampauinya.

Untuk sistem transfer massa, kecepatan vₓ pada permukaan biasanya tidak nol, tetapi bergantung pada x. Oleh karena itu, kami mengatur vₓ = vₓ(x) pada y = 0. Kondisi batas ini tepat kapan pun ada aliran massa bersih antara permukaan dan aliran, seperti dalam pencairan, pengeringan, sublimasi, pembakaran dinding, atau transpirasi fluida melalui dinding berpori. Jelas, beberapa dari proses ini mungkin terjadi dengan fluida murni, tetapi untuk kesederhanaan, kami menunda pertimbangannya pada bab ini (lihat juga 18.3 dan 22.8 untuk analisis terkait).

Dengan bantuan persamaan kontinuitas, Eqs. 20.2-1 hingga 4 dapat diintegrasikan secara formal, dengan kondisi batas yang baru saja diberikan, untuk memperoleh seperangkat keseimbangan lapisan batas berikut:

Persamaan ini adalah perpanjangan dari keseimbangan von Kármán pada 4.4 dan 12.4 dan dapat diterapkan dengan cara yang sama, seperti yang ditunjukkan dalam Contoh 20.2-1.

Teknik lapisan batas telah memberikan nilai yang signifikan dalam mengembangkan teori penerbangan berkecepatan tinggi, proses pemisahan, reaktor kimia, dan sistem transfer massa biologis. Beberapa masalah menarik yang telah dipelajari mencakup reaksi kimia dalam lapisan batas hipersonik, transfer massa dari tetesan, polarizasi elektroda dalam konveksi paksa dan konveksi bebas, desalinasi air osmosis terbalik, dan transfer antarfasa dalam reaktor bed terisi dan kolom distilasi.

Example 20.2-1: Difusi dan reaksi kimia dalam aliran laminar isotermal di sepanjang pelat datar yang dapat larut

Sebuah analog transfer massa yang sesuai untuk masalah yang dibahas dalam Contoh 12.4-1 adalah aliran di sepanjang pelat datar yang mengandung spesies A yang sedikit larut dalam fluida B. Konsentrasi pada permukaan pelat adalah c₀, yang merupakan kelarutan A dalam B, dan konsentrasi A jauh dari pelat adalah cA∞. Dalam contoh ini, kami biarkan c₀ = 0 dan memutuskan analogi dengan Contoh 12.4-1 dengan membiarkan A bereaksi dengan B melalui reaksi homogen urutan n, sehingga R_A = -k_n’cA. Konsentrasi A yang terlarut diasumsikan kecil, sehingga sifat fisik p, p, dan μ pada dasarnya konstan di seluruh fluida. Kami ingin menganalisis sistem ini, yang digambarkan dalam Gambar 20.2-1, menggunakan metode von Kármán.

SOLUTION

Kami mulai dengan mempostulasikan bentuk untuk profil kecepatan dan konsentrasi. Untuk meminimalkan aljabar dan tetap mengilustrasikan metode ini, kami memilih fungsi sederhana (jelas, seseorang dapat menyarankan fungsi yang lebih realistis):

Gambar 20.2-1. Profil kecepatan dan konsentrasi yang diasumsikan untuk lapisan batas laminar dengan reaksi kimia homogen.

Perhatikan bahwa kami menggunakan ketebalan yang berbeda, δ dan δA, untuk lapisan batas kecepatan dan konsentrasi. Untuk menghubungkan masalah ini dengan Contoh 12.4-1, kami memperkenalkan kuantitas Δ = δ/δA, yang dalam hal ini merupakan fungsi dari x karena reaksi kimia yang terjadi. Kami membatasi diskusi pada Δ ≤ 1, di mana lapisan batas konsentrasi sepenuhnya terletak dalam lapisan batas kecepatan. Kami juga dapat mengabaikan kecepatan antarfasa v₀ = v|y=δA, yang kecil di sini karena kelarutan A yang rendah. Penyisipan ekspresi ini ke dalam Eqs. 20.2-5 dan 7 kemudian menghasilkan persamaan diferensial:

untuk ketebalan lapisan batas δ dan δA = Sδ.

Persamaan 20.2-10 dapat diintegrasikan dengan mudah untuk memberikan:

Penyisipan hasil ini ke dalam Eq. 20.2-11 dan perkalian dengan menghasilkan:

sebagai persamaan diferensial untuk Δ. Dengan demikian, Δ bergantung pada angka Schmidt, Sc = p/pQAB, dan pada koordinat posisi tak berdimensi yang ditunjukkan dalam tanda kurung. Kuantitas dalam tanda kurung adalah 1/(n + 1) kali angka Damkohler pertama berdasarkan jarak x. Ketika tidak ada reaksi yang terjadi, kₓ sama dengan nol, dan Eq. 20.2-13 menjadi reaksi linier orde pertama untuk Δ3 Ketika persamaan tersebut diintegrasikan, kami mendapatkan:

di mana C adalah konstanta integrasi. Karena Δ tidak menjadi tak terhingga saat x → 0, kami memperoleh, dalam ketidakhadiran reaksi kimia (lihat Eq. 12.4-15):

Yaitu, ketika tidak ada reaksi dan Sc > 1, ketebalan lapisan batas konsentrasi dan kecepatan memiliki rasio konstan satu sama lain, yang bergantung hanya pada nilai angka Schmidt.

Ketika reaksi lambat terjadi (atau ketika x kecil), solusi deret untuk Eq. 20.2-13 dapat diperoleh:

Penyisipan ekspresi ini ke dalam Eq. 20.2-13 menghasilkan:

Karena a₁ negatif, ketebalan lapisan batas konsentrasi berkurang akibat reaksi kimia.

Ketika reaksi cepat terjadi (atau ketika x sangat besar), solusi deret dalam lebih tepat. Untuk t besar, kami mengasumsikan bahwa suku dominan berbentuk di mana m < 0. Penyisipan fungsi percobaan ini ke dalam Eq. 20.2-13 kemudian menunjukkan bahwa:

Gabungan dari Eqs. 20.2-12 dan 19 menunjukkan bahwa, pada jarak yang jauh dari ujung depan, ketebalan lapisan batas konsentrasi δA menjadi konstan dan tidak bergantung pada vₓ dan v.

Setelah Δ(ϕ, Sc) diketahui, profil konsentrasi dan laju perpindahan massa di permukaan dapat ditemukan. Pendekatan yang lebih mendetail untuk masalah ini telah diberikan di tempat lain.