Turunan Korotasi dan Model Viskoelastik Nonlinier

THE COROTATIONAL DERIVATIVES AND THE NONLINEAR VISCOELASTIC MODEL

Dalam bagian sebelumnya, telah ditunjukkan bahwa penyertaan turunan waktu (atau integral waktu) dalam ekspresi tensor tegangan memungkinkan deskripsi efek elastis. Model viskoelastik linier dapat menggambarkan viskositas kompleks dan transmisi gelombang geser amplitudo kecil. Model linier juga dapat menggambarkan recoil elastis, meskipun hasilnya terbatas pada aliran dengan gradien perpindahan yang dapat diabaikan (dan karenanya kurang praktis).

Dalam bagian ini, kami memperkenalkan hipotesis bahwa hubungan antara tensor tegangan dan tensor kinematik pada partikel fluida harus independen dari orientasi instan partikel tersebut di ruang. Ini tampaknya merupakan hipotesis yang wajar; jika Anda mengukur hubungan tegangan-regangan pada karet gelang, tidak masalah apakah Anda meregangkan karet gelang dalam arah utara-selatan atau timur-barat, atau bahkan berputar saat mengambil data (dengan catatan, tentu saja, bahwa Anda tidak berputar terlalu cepat sehingga gaya sentrifugal mengganggu pengukuran).

Salah satu cara untuk menerapkan hipotesis di atas adalah dengan memperkenalkan kerangka koordinat korotasi pada setiap partikel fluida. Kerangka ortogonal ini berputar dengan kecepatan sudut instan lokal saat bergerak bersama dengan partikel fluida melalui ruang. Dalam sistem koordinat korotasi, kita sekarang dapat menuliskan beberapa jenis hubungan.

Gambar 8.5-1. Kerangka koordinat tetap dengan titik asal di 0, dan kerangka koordinat yang berputar bersama partikel fluida dengan vektor unit δ₁, δ₂, δ₃ yang bergerak mengikuti partikel fluida dan berputar dengan kecepatan sudut lokal dan instan ½[v ∇.v] dari fluida.

antara tensor tegangan dan tensor laju regangan; misalnya, kita bisa menuliskan model Jeffreys dan kemudian menambahkan beberapa istilah nonlinier tambahan untuk keakuratan.di mana aksen (^) pada tensor menunjukkan bahwa komponen-komponennya adalah relatif terhadap sistem koordinat yang berputar bersamaan dengan partikel fluida. Dalam Persamaan 8.5-1, konstanta λ_i, λ_2, μ_0, μ_1, dan μ_2 semuanya memiliki dimensi waktu.

Karena persamaan kontinuitas dan gerak ditulis untuk sistem koordinat xyz yang tetap dalam ruang, tampaknya wajar untuk mentransformasikan Persamaan 8.5-1 dari sistem koordinat yang berputar ke sistem xyz. Ini adalah masalah matematis murni yang telah dipecahkan lama lalu, dan solusinya sudah dikenal dengan baik. Dapat ditunjukkan bahwa turunan waktu parsial ∂/∂t, ∂²/∂t²,… diubah menjadi turunan waktu korotasi (atau Jaumann)

Turunan waktu korotasi dari tensor orde kedua didefinisikan sebagai:di mana adalah tensor vorteks, dan D/Dt adalah turunan waktu substansial yang didefinisikan dalam bagian 53.5. Produk titik tensor yang muncul dalam Persamaan 8.5-1, dengan komponen dalam sistem koordinat xyz, ditransformasikan menjadi produk titik yang sesuai, dengan komponen yang diberikan dalam sistem koordinat xyz.

Ketika ditransformasikan ke sistem koordinat xyz, Persamaan 8.5-1 menjadi:yang merupakan model Oldroyd 6-konstan. Model ini tidak bergantung pada orientasi lokal dan seketika dari partikel fluida dalam ruang. Perlu ditekankan bahwa Persamaan 8.5-3 adalah model empiris; penggunaan sistem koordinat corotating hanya memastikan bahwa rotasi lokal seketika fluida telah “dihilangkan.”

Dengan pemilihan parameter yang tepat, sebagian besar fenomena yang diamati dalam dinamika fluida polimer dapat dijelaskan secara kualitatif. Model ini telah banyak digunakan dalam perhitungan dinamika fluida eksplorasi. Penyederhanaan model ini dengan tiga konstanta, di mana disebut model Oldroyd-B. Model viskoelastis nonlinier lainnya adalah model Giesekus dengan tiga konstanta, yang mencakup istilah kuadratik dalam komponen tegangan.Di sini, λ adalah konstanta waktu, η_0 adalah viskositas pada laju geser nol, dan α adalah parameter tanpa dimensi. Model ini memberikan bentuk yang wajar untuk sebagian besar fungsi material, dan ekspresi analitiknya dirangkum dalam Tabel 8.5-1. Karena adanya istilah {τ.τ}, model ini dapat menggambarkan berbagai fenomena dengan baik.Superposisi dari model Giesekus dapat digunakan untuk menggambarkan bentuk fungsi material yang diukur dengan cukup kuantitatif. Model ini telah banyak digunakan dalam perhitungan dinamika fluida.

Example 8.5-1: Fungsi Material untuk Model Oldroyd 6-Kontanta

Dapatkan fungsi material untuk aliran geser tetap, gerakan osilasi amplitudo kecil, dan aliran uniaxial elongasi tetap. Gunakan fakta bahwa dalam aliran geser, komponen tensor tegangan dan adalah nol, dan bahwa dalam aliran elongasi, elemen off-diagonal dari tensor tegangan adalah nol (hasil ini diperoleh melalui argumen simetri).

SOLUTION

(a) Pertama, kita sederhanakan Persamaan 8.5-3 untuk aliran geser yang tidak stabil, dengan distribusi kecepatan vx(y,t) = λ(t)y. Dengan menuliskan komponen-komponen dari persamaan tersebut, kita mendapatkan:

(b) Untuk aliran geser dalam keadaan mantap, Persamaan 8.5-7 memberikan τ_zz = 0, dan tiga persamaan lainnya menghasilkan sekumpulan persamaan aljabar simultan yang dapat diselesaikan untuk mendapatkan komponen tensor tegangan yang tersisa. Dengan definisi fungsi material dalam 8.2, kita bisa memperoleh:Model ini memberikan viskositas yang bergantung pada laju geser serta koefisien tegangan normal yang bergantung pada laju geser. (Untuk model Oldroyd-B, viskositas dan koefisien tegangan normal tidak bergantung pada laju geser.) Untuk sebagian besar polimer, viskositas non-Newtonian menurun dengan laju geser, dan untuk fluida semacam ini, kita menyimpulkan bahwa Selain itu, karena nilai yang terukur selalu meningkat secara monoton dengan laju geser, kita juga memerlukan bahwa σ2> 1/9σ1. Meskipun model ini memberikan viskositas dan tegangan normal yang bergantung pada laju geser, bentuk kurva tidak selalu sesuai dengan data eksperimen pada berbagai rentang laju geser.

Jika koefisien tegangan normal kedua memiliki tanda yang berlawanan dengan koefisien tegangan normal pertama, sesuai dengan data untuk sebagian besar cairan polimer. Karena koefisien tegangan normal kedua jauh lebih kecil daripada yang pertama untuk banyak fluida dan dalam beberapa aliran berperan sangat kecil, menetapkan mungkin masuk akal, sehingga mengurangi jumlah parameter dari 6 menjadi 4.

Diskusi ini menunjukkan bagaimana mengevaluasi model empiris yang diusulkan dengan membandingkan prediksi model dengan data eksperimen yang diperoleh dari eksperimen rheometrik. Kita juga telah melihat bahwa data eksperimen mungkin memerlukan pembatasan pada parameter. Jelas bahwa ini adalah tugas besar, tetapi tidak berbeda jauh dari masalah yang dihadapi ahli termodinamika dalam mengembangkan persamaan keadaan empiris untuk campuran, misalnya. Namun, ahli reologi berurusan dengan persamaan tensor, sementara ahli termodinamika hanya berurusan dengan persamaan skalar.

(c) Untuk gerakan osilasi dengan amplitudo kecil, istilah non-linear dalam Persamaan 8.5-5 hingga 8 dapat diabaikan, dan fungsi materialnya sama dengan yang diperoleh dari model Jeffreys untuk viskoelastisitas linier:Untuk η’ menjadi fungsi yang menurun secara monotone terhadap frekuensi dan untuk η” positif (seperti yang terlihat pada semua eksperimen), kita harus mengharuskan λ2 < λ1. Di sini juga, model memberikan hasil yang secara kualitatif benar, tetapi bentuk kurva tidak akurat.

(d) Untuk aliran uniaxial yang stabil seperti yang didefinisikan dalam 98.2, model Oldroyd 6-konstanta memberikan:Karena, untuk sebagian besar polimer, kemiringan kurva viskositas elongasi terhadap laju elongasi adalah positif pada ε = 0, kita harus mengharuskan μ1 > μ2. Persamaan 8.5-14 memprediksi bahwa viskositas elongasi bisa menjadi tak hingga pada beberapa nilai laju elongasi tertentu; hal ini mungkin menjadi masalah dalam perhitungan peregangan serat.

Perhatikan bahwa konstanta waktu λ1 dan λ2 tidak muncul dalam ekspresi untuk viskositas elongasi, sedangkan konstanta μ0, μ1, dan μ2 tidak masuk dalam komponen viskositas kompleks pada Eqs. 8.5-14 dan 15. Ini menekankan fakta bahwa berbagai eksperimen reometri diperlukan untuk menentukan parameter dalam ekspresi empiris untuk tensor tegangan. Dengan kata lain, berbagai eksperimen menekankan bagian yang berbeda dari model.