Dalam Gambar 1.1-1, ditunjukkan sepasang pelat paralel besar, masing-masing dengan area A, dipisahkan oleh jarak Y. Di ruang di antara keduanya terdapat fluida—baik gas maupun cairan. Sistem ini awalnya dalam keadaan diam, tetapi pada waktu t = 0, pelat bawah mulai bergerak ke arah x positif dengan kecepatan konstan V. Seiring berjalannya waktu, fluida memperoleh momentum, dan pada akhirnya profil kecepatan steady-state linier seperti yang ditunjukkan dalam gambar akan terbentuk. Kita memerlukan aliran yang laminar (“aliran laminar” adalah jenis aliran yang teratur yang biasanya kita amati saat sirup dituangkan, berbeda dengan “aliran turbulen,” yaitu aliran yang tidak teratur dan kacau yang terlihat dalam mixer berkecepatan tinggi). Ketika keadaan akhir dari gerakan steady-state

Gambar 1.1-1 Penumpukan ke
kecepatan laminar yang stabil
profil untuk cairan yang terkandung
antara dua piring. Itu
Aliran disebut “laminar” karena lapisan-lapisannya berdekatan
cairan (“laminae”) meluncur lewat
satu sama lain secara tertib
mode. 

telah tercapai, gaya konstan F diperlukan untuk mempertahankan gerak yang lebih rendah
piring. Akal sehat menyatakan bahwa kekuatan ini dapat diungkapkan sebagai berikut:

 F/A = μV/Y                                                                                      (1.1-1)

Artinya, gaya harus sebanding dengan area dan kecepatan, serta berbanding terbalik dengan jarak antara pelat. Konstanta proporsionalitas η adalah sifat dari fluida, yang didefinisikan sebagai viskositas. Sekarang kita beralih ke notasi yang akan digunakan. Pertama, kita menggantikan F/A dengan simbol Tyz, yang merupakan gaya dalam arah x pada area unit yang tegak lurus terhadap arah y. Dipahami bahwa ini adalah gaya yang diterapkan oleh fluida dengan nilai y yang lebih kecil pada fluida dengan nilai y yang lebih besar. Selain itu, kita menggantikan V/Y dengan -dνx/dy. Maka, dalam istilah simbol ini, Persamaan 1.1-1 menjadi:

Persamaan ini menyatakan bahwa gaya geser persatuan luas sebanding dengan negatif dari gradien kecepatan, sering disebut hukum viskositas Newton.~ Sebenarnya kita

dimana kuantitas g, adalah “gravitasi
faktor konversi” dengan nilai 32,174 poundal/lbf. Dalam buku ini kita akan selalu menggunakan Persamaan 1.1-2 daripada
dari Persamaan. 1.1-2a. Sir Isaac Newton (1643-1727), seorang profesor di Universitas Cambridge dan kemudian menjadi Master of the Mint, adalah pendiri mekanika klasik dan juga berkontribusi pada bidang fisika lainnya. Sebenarnya Persamaan. 1.1-2 tidak muncul dalam Philosophiae Naturalis Principia Mathematics karya Sir Isaac Newton, melainkan benih dari
idenya ada di sana. Untuk komentar yang mencerahkan, lihat D. J. Acheson, Elementary Fluid Dynamics, Oxford
Pers Universitas, 1990,§6.1.

Seharusnya tidak merujuk pada Persamaan 1.1-2 sebagai sebuah “hukum,” karena Newton mengusulkan hal ini sebagai sebuah empirisme—usulan sederhana yang dapat dibuat untuk menghubungkan stres dan gradien kecepatan. Namun, telah ditemukan bahwa resistensi terhadap aliran semua gas dan cairan dengan berat molekul kurang dari sekitar 5000 dijelaskan oleh Persamaan 1.1-2, dan fluida seperti itu disebut sebagai fluida Newtonian. Cairan polimer, suspensi, pasta, lumpur, dan fluida kompleks lainnya tidak dijelaskan oleh Persamaan 1.1-2 dan disebut sebagai fluida non-Newtonian. Cairan polimer dibahas dalam Bab 8. Persamaan 1.1-2 dapat diartikan dengan cara lain. Di sekitar permukaan padat yang bergerak pada y = 0, fluida memperoleh sejumlah x-momentum. Fluida ini, pada gilirannya, mentransfer momentum ke lapisan cairan yang berdekatan, menyebabkan lapisan tersebut tetap bergerak dalam arah x. Oleh karena itu, x-momentum ditransmisikan melalui fluida ke arah positif y. Oleh karena itu, Txy juga dapat diartikan sebagai fluks x-momentum dalam arah positif y, di mana istilah “fluks” berarti “aliran per unit area.” Interpretasi ini konsisten dengan gambaran molekuler dari transportasi momentum dan teori kinetik gas dan cairan. Ini juga sejalan dengan perlakuan analog yang diberikan kemudian untuk transportasi panas dan massa. Gagasan dalam paragraf sebelumnya dapat diparafrasekan dengan mengatakan bahwa momentum mengalir “ke bawah” dari daerah dengan kecepatan tinggi ke daerah dengan kecepatan rendah—mirip dengan bagaimana kereta luncur bergerak ke bawah dari daerah dengan elevasi tinggi ke daerah dengan elevasi rendah, atau cara panas mengalir dari daerah dengan suhu tinggi ke daerah dengan suhu rendah. Gradien kecepatan karenanya dapat dianggap sebagai “gaya pendorong” untuk transportasi momentum. Dalam apa yang akan dibahas, kita terkadang akan merujuk pada hukum Newton dalam Persamaan 1.1-2 dalam istilah gaya (yang menekankan sifat mekanis dari subjek) dan terkadang dalam istilah transportasi momentum (yang menekankan analogi dengan transportasi panas dan massa). Pandangan ganda ini seharusnya bermanfaat dalam interpretasi fisik. Sering kali, ahli dinamika fluida menggunakan simbol v untuk mewakili viskositas dibagi dengan densitas (massa per unit volume) fluida, sehingga:

 

Kuantitas ini disebut viskositas kinematik.

 

Selanjutnya, kita akan membuat beberapa komentar tentang satuan dari kuantitas yang telah kita definisikan. Jika kita menggunakan simbol [=I untuk berarti “memiliki satuan,” maka dalam sistem SI:

• τxy [=I N/m² = Pa,
• ν [=I m²/s, dan
• η [=I Pa·s.

Jadi, τxy memiliki satuan Newton per meter kuadrat (N/m²) yang setara dengan Pascal (Pa), ν memiliki satuan meter kuadrat per detik (m²/s), dan η memiliki satuan Pascal-detik (Pa·s).

karena satuan di kedua sisi Persamaan 1.1-2 harus sesuai. Kami merangkum hal di atas dan juga memberikan satuan untuk sistem c.g.s. dan sistem Inggris dalam Tabel 1.1-1. Tabel konversi di Lampiran F akan sangat berguna untuk menyelesaikan masalah numerik yang melibatkan berbagai sistem satuan.Viskositas fluida bervariasi dalam banyak urutan besaran, dengan viskositas udara pada 20°C adalah 1,8 x 10⁻⁵ Pa·s dan viskositas gliserol sekitar 1 Pa·s, sementara beberapa minyak silikon bahkan lebih kental. Dalam Tabel 1.1-2, 1.1-3, dan 1.1-4, terdapat data eksperimen mengenai viskositas fluida.

Hubungan dengan bentuk Persamaan 1.1-2 memang dapat diperoleh dari teori kinetik gas sederhana (Persamaan 1.4-7). Namun, teori rigorus untuk gas yang dijelaskan dalam Lampiran D menjelaskan bahwa Persamaan 1.1-2 muncul sebagai suku pertama dalam ekspansi, dan bahwa suku tambahan (orde lebih tinggi) diharapkan akan muncul. Selain itu, bahkan teori kinetik dasar untuk cairan memprediksi perilaku non-Newtonian (Persamaan 1.5-6).

Presentasi komprehensif tentang teknik eksperimental untuk mengukur sifat transportasi dapat ditemukan dalam buku Measurement of the Transport Properties of Fluids oleh W. A. Wakeham, A. Nagashima, dan J. V. Sengers, CRC Press, Boca Raton, Fla. (1991). Sumber data eksperimen termasuk: Landolt-Börnstein, Zahlenwerte und Funktionen, Vol. II,5, Springer (1968-1969); International Critical Tables, McGraw-Hill, New York (1926); Y. S. Touloukian, P. E. Liley, dan S. C. Saxena, Thermophysical Properties of Matter, Plenum Press, New York (1970); serta berbagai buku panduan kimia, fisika, dinamika fluida, dan transfer panas.

Data yang diberikan untuk fluida murni pada tekanan 1 atm. Perhatikan bahwa untuk gas pada densitas rendah, viskositas meningkat seiring dengan meningkatnya suhu, sedangkan untuk cairan, viskositas biasanya menurun dengan meningkatnya suhu. Dalam gas, momentum ditransportasikan oleh molekul-molekul yang berada dalam penerbangan bebas di antara tumbukan, tetapi dalam cairan, transportasi terutama terjadi karena gaya intermolekul yang dialami pasangan molekul saat mereka bergerak di antara tetangganya. Di 51.4 dan 1.5, kami memberikan beberapa argumen teori kinetik dasar untuk menjelaskan ketergantungan suhu terhadap viskositas.

Hitung fluks momentum keadaan tunak τxy dalam lb/ft² ketika kecepatan pelat bawah V pada Gambar 1.1-1 adalah 1 ft/s dalam arah x positif, jarak pisah pelat Y adalah 0,001 ft, dan viskositas fluida μ adalah 0,7 cp.

SOLUSI

Karena τxy diinginkan dalam satuan Inggris, kita harus mengubah viskositas ke dalam sistem satuan tersebut. Dengan demikian, menggunakan Lampiran F, kita menemukan µ = (0,7 cp) (2,0886×10⁵) = 1,46 x 10⁻⁵ lb, s/ft². Profil kecepatan adalah linier sehingga

Substitusi ke dalam Persamaan 1.1-2 memberikan

–GENERALISASI HUKUM VISKOSITAS NEWTON

Pada bagian sebelumnya, viskositas didefinisikan oleh Persamaan 1.1-2, dalam bentuk aliran geser keadaan tetap sederhana di mana v, merupakan fungsi dari y saja, dan v, dan v, adalah nol. Biasanya kita tertarik pada aliran yang lebih rumit di mana ketiga komponen kecepatan mungkin bergantung pada ketiga koordinat dan mungkin pada waktu. Oleh karena itu, kita harus memiliki ekspresi yang lebih umum daripada Persamaan 1.1-2, tetapi harus disederhanakan menjadi Persamaan 1.1-2 untuk aliran geser keadaan tetap. Generalisasi ini tidak sederhana; pada kenyataannya, butuh waktu sekitar satu setengah abad bagi matematikawan untuk melakukan ini. Tidaklah tepat bagi kita untuk memberikan semua detail perkembangan ini di sini, karena detail tersebut dapat ditemukan di banyak buku dinamika fluida. Sebaliknya, kami akan menjelaskan secara singkat gagasan utama yang mengarah pada penemuan generalisasi hukum viskositas Newton yang diperlukan. Untuk melakukan hal ini, kita mempertimbangkan pola aliran yang sangat umum, di mana kecepatan fluida mungkin berada di berbagai arah di berbagai tempat dan mungkin bergantung pada waktu t. Komponen kecepatan kemudian diberikan oleh

Dalam situasi seperti itu, akan ada sembilan komponen tegangan Tij (di mana i dan j dapat mengambil penunjukan x, y, dan z), daripada komponen τxy yang muncul dalam Persamaan 1.1-2. Oleh karena itu, kita harus memulai dengan mendefinisikan komponen-komponen tegangan ini. Pada Gambar 1.2-1 ditunjukkan elemen volume berbentuk kubus kecil dalam medan aliran, masing-masing sisi memiliki luas unit. Titik pusat elemen volume berada pada posisi x, y, z. 

Gambar 1.2-1 menunjukkan gaya tekanan dan gaya viskos yang bekerja pada bidang-bidang dalam fluida yang tegak lurus terhadap tiga sistem koordinat. Bidang-bidang yang diarsir memiliki luas unit.

Pada setiap saat, kita dapat memotong elemen volume sedemikian rupa sehingga menghilangkan setengah dari fluida di dalamnya. Seperti yang ditunjukkan dalam gambar, kita dapat memotong volume secara tegak lurus terhadap masing-masing tiga arah koordinat secara bergantian. Kemudian kita dapat menanyakan gaya apa yang harus diterapkan pada permukaan bebas (yang diarsir) untuk menggantikan gaya yang telah diterapkan pada permukaan tersebut oleh fluida yang telah dihapus. Akan ada dua kontribusi terhadap gaya tersebut: yang terkait dengan tekanan, dan yang terkait dengan gaya viskos.

Gaya tekanan akan selalu tegak lurus terhadap permukaan yang terpapar. Oleh karena itu, pada (a) gaya per unit area pada permukaan yang diarsir akan berupa vektorΡn∝—yakni, tekanan (sebuah skalar) dikalikan dengan vektor satuan n∝ dalam arah ∝. Demikian pula, gaya pada permukaan yang diarsir pada (b) akan berupa Ρny, dan pada (c) gaya tersebut akan berupa Ρnz. Gaya tekanan akan diterapkan baik saat fluida diam maupun saat fluida bergerak.

Gaya viskos masuk berperan hanya ketika ada gradien kecepatan dalam fluida. Secara umum, gaya ini tidak tegak lurus terhadap elemen permukaan maupun paralel dengannya, melainkan membentuk sudut tertentu terhadap permukaan (lihat Gambar 1.2-1). Pada (a), kita melihat gaya per unit area T∝y yang diterapkan pada area yang diarsir, dan pada (b) dan (c) kita melihat gaya per unit area T∝y dan T∝z.

Masing-masing gaya ini (yang merupakan vektor) memiliki komponen (skalar); misalnya, T∝y memiliki komponen T∝∝, T∝y, dan T∝z. Oleh karena itu, kita sekarang dapat merangkum gaya-gaya yang bekerja pada tiga area yang diarsir dalam Gambar 1.2-1 dalam Tabel 1.2-1. Tabel ini merupakan ringkasan gaya per unit area (tegangan) yang diterapkan dalam fluida, baik oleh tekanan termodinamika maupun tegangan viskos. Kadang-kadang kita akan merasa lebih nyaman menggunakan simbol yang mencakup kedua jenis tegangan tersebut, sehingga kita mendefinisikan tegangan molekuler sebagai berikut:

Berikut ini Sij adalah delta Kronecker, yang bernilai 1 jika i=j dan bernilai nol jika i≠j. Sama seperti pada bagian sebelumnya, τij (dan juga σij) dapat diinterpretasikan dalam dua cara:

= gaya dalam arah $j$ pada luas unit yang tegak lurus terhadap arah $i$, di mana dipahami bahwa fluida di wilayah dengan ∝i yang lebih kecil sedang memberikan gaya pada fluida dengan ∝i yang lebih besar.

= fluks momentum $j$ ke arah positif $i$—yaitu, dari wilayah dengan ∝i yang lebih kecil ke wilayah dengan xix_ixi yang lebih besar.

Kedua interpretasi tersebut digunakan dalam buku ini; interpretasi pertama sangat berguna dalam menggambarkan gaya yang diberikan oleh fluida pada permukaan padat. Tegangan T∝∝=p+τ∝∝, Tyy = p + Tyy, Tzz=p+Tzz, disebut tegangan normal, sedangkan besaran lainnya seperti T∝y=Ty∝, TVz= Tz∝, dan seterusnya disebut tegangan geser. Besaran-besaran ini, yang memiliki dua subskrip yang terkait dengan arah koordinat, disebut “tensor,” sama seperti besaran (seperti kecepatan) yang memiliki satu subskrip yang terkait dengan arah koordinat disebut

Ini disebut sebagai komponen “tensor fluks momentum molekuler” karena terkait dengan gerakan molekuler, seperti yang dibahas dalam §1.4 dan Lampiran D. Komponen tambahan “tensor fluks momentum konvektif,” yang terkait dengan pergerakan massal fluida, dibahas dalam §1.7.

Oleh karena itu, kita akan menyebut T sebagai “tensor tegangan viskos” (dengan komponen Tij) dan τ sebagai “tensor tegangan molekuler” (dengan komponen τij). Jika tidak ada kemungkinan kebingungan, kata sifat “viskos” dan “molekuler” dapat dihilangkan. Pembahasan tentang vektor dan tensor dapat ditemukan di Lampiran A. Pertanyaannya sekarang adalah: Bagaimana tegangan τij ini terkait dengan gradien kecepatan dalam fluida? Dalam menggeneralisasi Persamaan 1.1-2, kita menetapkan beberapa batasan pada tegangan-tegangan ini, sebagai berikut:

•Tekanan viskos mungkin merupakan kombinasi linier dari semua gradien kecepatan:

     

                -PRESSURE AND TEMPERATURE DEPENDENCE
                 OF VISCOSITY

Dalam bagian sebelumnya, viskositas didefinisikan oleh Persamaan 1.1-2, dalam konteks aliran geser keadaan tetap sederhana di mana $v$ hanya merupakan fungsi dari $y$, dan vxv_xvx serta vzv_zvz adalah nol. Biasanya, kita tertarik pada aliran yang lebih rumit di mana ketiga komponen kecepatan mungkin bergantung pada ketiga koordinat dan mungkin juga pada waktu. Oleh karena itu, kita memerlukan ekspresi yang lebih umum daripada Persamaan 1.1-2, tetapi harus menyederhanakan menjadi Persamaan 1.1-2 untuk aliran geser keadaan tetap.

Generalisasi ini tidak sederhana; sebenarnya, para matematikawan memerlukan waktu sekitar satu setengah abad untuk mencapainya. Tidaklah sesuai untuk memberikan semua detail pengembangan ini di sini, karena detail tersebut dapat ditemukan dalam banyak buku dinamika fluida. Sebagai gantinya, kami menjelaskan secara singkat ide-ide utama yang mengarah pada penemuan generalisasi hukum viskositas Newton yang diperlukan. Untuk melakukan ini, kita mempertimbangkan pola aliran yang sangat umum, di mana kecepatan fluida dapat berada dalam berbagai arah di berbagai tempat dan dapat bergantung pada waktu $t$. Komponen kecepatan kemudian diberikan oleh

Dalam situasi seperti itu, akan ada sembilan komponen stres τij (di mana $i$ dan $j$ dapat mengambil penunjukan $x$, $y$, dan z), daripada komponen τxy yang muncul dalam Persamaan 1.1-2. Oleh karena itu, kita harus mulai dengan mendefinisikan komponen-komponen stres ini.

Pada Gambar 1.2-1, ditunjukkan elemen volume berbentuk kubus kecil dalam medan aliran, di mana setiap wajahnya memiliki luas unit. Titik pusat elemen volume berada pada posisi x, $y$, $z$.

Gambar 1.2-1 Tekanan dan gaya viskos yang bekerja pada bidang-bidang dalam fluida yang tegak lurus terhadap tiga sistem koordinat. Bidang-bidang yang diarsir memiliki luas satuan