Viskositas Non-Newtonian dan Model Newtonian Umum
NON-NEWTONIAN VISCOSITY AND THE GENERALIZED NEWTONIAN MODELS
Ini adalah bagian pertama dari tiga bagian yang didedikasikan untuk ekspresi tensor tegangan empiris untuk fluida non-Newtonian. Secara kasar, ketiga bagian ini memenuhi kebutuhan tiga kelompok orang yang berbeda:
- Bagian 8.3: Model Newtonian umum digunakan terutama untuk menggambarkan aliran geser tunak dan banyak digunakan oleh insinyur untuk merancang sistem aliran.
- Bagian 8.4: Model viskoelastis linier digunakan terutama untuk menggambarkan aliran tidak tunak dalam sistem dengan gradien perpindahan yang sangat kecil, dan terutama digunakan oleh ahli kimia yang tertarik dalam memahami struktur polimer.
- Bagian 8.5: Model viskoelastis nonlinier merupakan upaya untuk menggambarkan semua jenis aliran (termasuk dua jenis di atas) dan telah dikembangkan oleh fisikawan dan matematikawan terapan yang tertarik pada teori yang mencakup semua aspek.
Ketiga kelas model ini saling terkait dan masing-masing penting untuk memahami aliran non-Newtonian. Dalam pembahasan berikut tentang model non-Newtonian, diasumsikan bahwa fluida bersifat inkompresibel.
Model Newtonian umum adalah model paling sederhana untuk menggambarkan viskositas non-Newtonian, tetapi tidak dapat menggambarkan efek tegangan normal, ketergantungan waktu, atau efek elastisitas. Namun, dalam banyak proses industri polimer seperti aliran pipa, ekstrusi, dan pencetakan injeksi, viskositas non-Newtonian dan variasinya dengan laju geser sangat penting dalam mendeskripsikan aliran.
Dalam persamaan ini, kita memperkenalkan simbol 
yang merupakan tensor laju-regangan (atau tensor laju-deformasi). Model fluida Newtonian umum diperoleh dengan mengganti viskositas konstan μ dengan viskositas non-Newtonian η, yang merupakan fungsi dari laju geser. Secara umum, ini dapat dituliskan sebagai “besaran dari tensor laju-regangan” 
dengan pemahaman bahwa ketika akar kuadrat diambil, tanda harus dipilih sedemikian rupa sehingga γ adalah kuantitas positif. Maka, model fluida Newtonian umum adalah
Komponen tensor laju-regangan γ dapat diperoleh dalam koordinat Kartesius, silinder, dan bola dari sisi kanan persamaan dalam Tabel B.1 dengan menghilangkan istilah (∇ . v) serta faktor (-μ) pada istilah yang tersisa. Sekarang kita perlu memberikan pendekatan empiris untuk fungsi viskositas non-Newtonian η(j). Puluhan ekspresi telah diusulkan, tetapi hanya dua yang akan disebutkan di sini:
(a) Pendekatan empiris paling sederhana untuk η(γ) adalah ekspresi hukum pangkat dua parameter.
Dalam persamaan ini, m dan n adalah konstanta yang mencirikan fluida. Hubungan sederhana ini menggambarkan kurva viskositas non-Newtonian di bagian linear plot log-log antara viskositas dan laju geser untuk banyak material (lihat, misalnya, data viskositas pada Gambar 8.2-4). Parameter m memiliki satuan Pa s^n, dan n – 1 adalah kemiringan plot log η vs. log γ. Beberapa contoh nilai parameter hukum pangkat dapat dilihat pada Tabel 8.3-1. Meskipun model hukum pangkat diusulkan sebagai ekspresi empiris, persamaan molekuler sederhana menunjukkan bahwa hukum pangkat ini berlaku pada laju geser tinggi, dengan n = 1/3.
(b) Pencocokan kurva yang lebih baik untuk sebagian besar data dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan Carreau empat parameter, yaitu:
Dalam persamaan ini, η_0 adalah viskositas pada laju geser nol, η_∞ adalah viskositas pada laju geser tak hingga, λ adalah parameter dengan satuan waktu, dan n adalah parameter tak berdimensi. Beberapa contoh parameter untuk model Carreau ditampilkan di Tabel 8.3-2. Berikut ini beberapa contoh penggunaan model power law, yang merupakan perpanjangan dari masalah-masalah yang telah dibahas di Bab 2 dan 3 untuk fluida Newtonian.
Example 8.3-1: Aliran Laminar Fluida Hukum Daya Tak Mampat dalam Tabung Silinder.
Turunkan persamaan untuk laju aliran massa dari cairan polimer, yang dijelaskan oleh model hukum daya. Cairan mengalir dalam tabung silinder panjang dengan radius R dan panjang L, akibat perbedaan tekanan, gaya gravitasi, atau keduanya.
SOLUTION
Persamaan 2.3-13 memberikan distribusi tegangan geser untuk fluida apa pun dalam aliran berkembang yang stabil di tabung silinder. Dalam ekspresi ini, kita harus memasukkan tegangan geser untuk fluida hukum daya (daripada menggunakan Persamaan 2.3-14). Ekspresi ini dapat diperoleh dari Persamaan 8.3-2 dan 3 di atas.
Karena v_z diasumsikan sebagai fungsi dari r saja, dari Persamaan B.l-13 kita temukan bahwa 
Kita harus memilih tanda untuk akar kuadrat sehingga γ akan positif. Karena dv/dr negatif dalam aliran tabung, kita harus memilih tanda minus, sehingga
Menggabungkan Persamaan 8.3-6 dan 2.3-13 menghasilkan persamaan diferensial berikut untuk kecepatan:
Setelah mengambil akar ke-n, persamaan tersebut dapat diintegrasikan, dan dengan menggunakan kondisi batas no-slip pada r = R, kita mendapatkan:
Untuk distribusi kecepatan (lihat Eq. 8.1-1). Ketika ini diintegrasikan di atas penampang melintang tabung silinder, kita mendapatkan:
Yang menyederhanakan menjadi hukum Hagen-Poiseuille untuk fluida Newtonian (Eq. 2.3-21) ketika n = 1 dan m = p. Persamaan 8.3-9 dapat digunakan bersama dengan data tentang penurunan tekanan versus laju aliran untuk menentukan parameter hukum daya m dan n.